Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ? | MetMat

Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?

En calculant $f''$ et en étudiant son signe : $f'' > 0$ sur $I$ signifie $f$ convexe sur $I$ , $f'' < 0$ signifie $f$ concave

Déterminer les intervalles de convexité et de concavité d'une fonction à partir du signe de sa dérivée seconde.

L'objectif

Déterminer les intervalles de convexité et de concavité d'une fonction à partir du signe de sa dérivée seconde.

Le principe

Si $f$ est deux fois dérivable sur $I$ , alors $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f'' \geq 0$ sur $I$ , et concave sur $I$ si et seulement si $f'' \leq 0$ sur $I$ .

La méthode

1
Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$ en appliquant les règles de dérivation.
Comment calculer la dérivée seconde d'une fonction ?Voir
2
Chercher les zéros de $f''$ et les valeurs où $f''$ n'est pas définie.
3
Étudier le signe de $f''$ sur chaque sous-intervalle obtenu et dresser le tableau de signe de $f''$ .
4
Conclure : sur les intervalles où $f'' > 0$ , $f$ est convexe (courbe au-dessus de ses tangentes, $f'$ croissante) ; sur les intervalles où $f'' < 0$ , $f$ est concave (courbe en-dessous de ses tangentes, $f'$ décroissante).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier la convexité de $f(x) = x^3 - 6x$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Calculer

f'(x)

puis

f''(x)

en appliquant les règles de dérivation.

$f'(x) = 3x^2 - 6$ , donc $f''(x) = 6x$ .

Étape 2 —

Chercher les zéros de

f''

et les valeurs où

f''

n'est pas définie.

$f''(x) = 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Étape 3 —

Étudier le signe de

f''

sur chaque sous-intervalle obtenu et dresser le tableau de signe de

f''

Étape 4 —

Conclure : sur les intervalles où

f'' > 0

f

est convexe (courbe au-dessus de ses tangentes,

f'

croissante) ; sur les intervalles où

f'' < 0

f

est concave (courbe en-dessous de ses tangentes,

f'

décroissante).

$f'' < 0$ sur $]-\infty, 0[$ , donc $f$ est concave sur $]-\infty, 0]$ . $f'' > 0$ sur $]0, +\infty[$ , donc $f$ est convexe sur $[0, +\infty[$ .

$f$ est concave sur $]-\infty, 0]$ et convexe sur $[0, +\infty[$ .

Application guidée

Étudier la convexité de $f(x) = e^x$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Étudier la convexité de $f(x) = x^4 - 6x^2$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Étudier la convexité de $f(x) = \ln x$ sur $]0, +\infty[$ .

Application autonome 3

Étudier la convexité de $f(x) = xe^x$ sur $\mathbb{R}$ .

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En calculant f′′f''f′′ et en étudiant son signe : f′′>0f'' > 0f′′>0 sur III signifie fff convexe sur III, f′′<0f'' < 0f′′<0 signifie fff concave

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $f''$ et en étudiant son signe : $f'' > 0$ sur $I$ signifie $f$ convexe sur $I$ , $f'' < 0$ signifie $f$ concave