Comment appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour montrer qu'une équation a au moins une solution ?

En vérifiant que $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $k$ est compris (strictement) entre $f(a)$ et $f(b)$ , puis en concluant qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = k$

L'objectif

Montrer qu'il existe au moins un réel $c$ dans $]a,b[$ tel que $f(c) = k$ , en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires.

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est un réel strictement compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe au moins un réel $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = k$ .

La méthode

1
Je montre que $f$ est continue sur $[a,b]$ (fonctions usuelles, opérations, ou calcul de limite pour les fonctions par morceaux).
2
Je calcule $f(a)$ et $f(b)$ , puis je vérifie que $k$ est strictement compris entre $f(a)$ et $f(b)$ : soit $f(a) < k < f(b)$ , soit $f(b) < k < f(a)$ .
3
J'applique le théorème des valeurs intermédiaires : d'après le TVI, il existe au moins un réel $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = k$ .
4
Je conclus en interprétant le résultat dans le contexte du problème (l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $]a,b[$ ).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En vérifiant que fff est continue sur [a,b][a,b][a,b] et que kkk est compris (strictement) entre f(a)f(a)f(a) et f(b)f(b)f(b), puis en concluant qu'il existe c∈]a,b[c \in ]a,b[c∈]a,b[ tel que f(c)=kf(c) = kf(c)=k

Exemple corrigé

En vérifiant que $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $k$ est compris (strictement) entre $f(a)$ et $f(b)$ , puis en concluant qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = k$