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Comment encadrer une solution par la méthode de dichotomie ?

En partant d'un intervalle [a,b][a,b] où f(a)f(a) et f(b)f(b) sont de signes opposés, en évaluant ff au milieu c=a+b2c = \dfrac{a+b}{2}, en choisissant le sous-intervalle qui contient la racine, et en répétant jusqu'à la précision souhaitée

L'objectif

Encadrer une racine α\alpha de ff à une précision donnée ε>0\varepsilon > 0 en appliquant l'algorithme de dichotomie.

Le principe

Si ff est continue sur [a,b][a,b] avec f(a)f(a) et f(b)f(b) de signes opposés, il existe une racine dans ]a,b[]a,b[ ; en évaluant ff au milieu c=a+b2c = \dfrac{a+b}{2}, on sélectionne un sous-intervalle de longueur b−a2\dfrac{b-a}{2} contenant toujours la racine, et on répète jusqu'à obtenir la précision voulue.

La méthode
  1. 1
    Je pars d'un intervalle [a0,b0][a_0, b_0] tel que f(a0)f(a_0) et f(b0)f(b_0) sont de signes strictement opposés (i.e. f(a0)⋅f(b0)<0f(a_0) \cdot f(b_0) < 0). Je note la longueur initiale b0−a0b_0 - a_0.
  2. 2
    Je calcule le milieu c=a+b2c = \dfrac{a + b}{2} et j'évalue f(c)f(c). Trois cas : si f(c)=0f(c) = 0, cc est la racine exacte ; si f(a)⋅f(c)<0f(a) \cdot f(c) < 0, la racine est dans [a,c][a, c], je pose b←cb \leftarrow c ; sinon, la racine est dans [c,b][c, b], je pose a←ca \leftarrow c.
  3. 3
    Je répète l'étape 2 avec le nouvel intervalle. Après nn itérations, l'intervalle a une longueur b0−a02n\dfrac{b_0 - a_0}{2^n}, ce qui donne une précision sur la racine de b0−a02n\dfrac{b_0 - a_0}{2^n}.
  4. 4
    Je m'arrête lorsque la longueur de l'intervalle est inférieure à la précision souhaitée ε\varepsilon (i.e. quand b0−a02n<ε\dfrac{b_0 - a_0}{2^n} < \varepsilon), et je donne l'encadrement [an,bn][a_n, b_n] ou la valeur approchée an+bn2\dfrac{a_n + b_n}{2}.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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