Comment vérifier qu'une fonction est continue en un point ? | MetMat

Comment vérifier qu'une fonction est continue en un point ?

En calculant $\lim_{x \to a} f(x)$ et en vérifiant qu'elle est égale à $f(a)$

Vérifier qu'une fonction $f$ est continue en un point $a$ en s'assurant que $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

L'objectif

Vérifier qu'une fonction $f$ est continue en un point $a$ en s'assurant que $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

Le principe

Une fonction $f$ est continue en $a$ si et seulement si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ; pour une fonction définie par morceaux, il faut vérifier que les limites à gauche et à droite en $a$ sont toutes deux égales à $f(a)$ .

La méthode

1
Calculer $f(a)$ (valeur de la fonction au point $a$ ).
2
Calculer $\lim_{x \to a} f(x)$ . Si $f$ est définie par morceaux avec $a$ comme point de raccord, calculer séparément $\lim_{x \to a^-} f(x)$ (limite à gauche) et $\lim_{x \to a^+} f(x)$ (limite à droite).
3
Comparer : si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (ou si les deux limites latérales sont égales entre elles et égales à $f(a)$ ), conclure que $f$ est continue en $a$ . Sinon, $f$ est discontinue en $a$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f(x) = 2x + 1$ . Vérifier que $f$ est continue en $a = 3$ .

Étape 1 —

Calculer

f(a)

(valeur de la fonction au point

a

$f(3) = 2 \times 3 + 1 = 7$ .

Étape 2 —

Calculer

\lim_{x \to a} f(x)

. Si

f

est définie par morceaux avec

a

comme point de raccord, calculer séparément

\lim_{x \to a^-} f(x)

(limite à gauche) et

\lim_{x \to a^+} f(x)

(limite à droite).

$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (2x + 1) = 7$ .

Étape 3 —

Comparer : si

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

(ou si les deux limites latérales sont égales entre elles et égales à

f(a)

), conclure que

f

est continue en

a

. Sinon,

f

est discontinue en

a

$\lim_{x \to 3} f(x) = 7 = f(3)$ , donc $f$ est continue en $3$ .

$f$ est continue en $3$ .

Application guidée

Soit $f$ définie par $f(x) = x^2$ si $x < 2$ et $f(x) = 3x - 2$ si $x \geq 2$ . Vérifier la continuité en $a = 2$ .

Application autonome 1

Soit $g$ définie par $g(x) = x + 1$ si $x \leq 0$ et $g(x) = x^2 + 1$ si $x > 0$ . $g$ est-elle continue en $0$ ?

Application autonome 2

Soit $h$ définie par $h(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ si $x \neq 2$ et $h(2) = 5$ . $h$ est-elle continue en $2$ ?

Application autonome 3

Soit $\varphi$ définie par $\varphi(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ si $x \neq 0$ et $\varphi(0) = 1$ . Vérifier que $\varphi$ est continue en $0$ .

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