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Comment déterminer une taille d'échantillon pour garantir une précision ε\varepsilon avec un risque α\alpha ?

En utilisant l'inégalité de concentration P(∣Mn−μ∣≥ε)≤Vnε2≤αP(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V}{n\varepsilon^2} \leq \alpha, puis en résolvant n≥Vαε2n \geq \dfrac{V}{\alpha\varepsilon^2}

L'objectif

Trouver la taille minimale nn d'un échantillon pour que la moyenne empirique MnM_n soit à distance au plus ε\varepsilon de l'espérance μ\mu avec une probabilité d'erreur inférieure à α\alpha.

Le principe

Si X1,…,XnX_1, \ldots, X_n sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de même espérance μ\mu et même variance VV, alors V(Mn)=VnV(M_n) = \dfrac{V}{n}, et Bienaymé-Tchebychev donne P(∣Mn−μ∣≥ε)≤Vnε2P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V}{n\varepsilon^2}.

La méthode
  1. 1
    J'identifie la variance VV de chaque observation (ou je la majore par V≤14V \leq \dfrac{1}{4} si les variables suivent une loi de Bernoulli et que pp est inconnu).
    Voir
  2. 2
    Je relève les données du problème : la précision souhaitée ε>0\varepsilon > 0 et le risque maximal accepté α∈]0,1[\alpha \in ]0, 1[.
  3. 3
    J'écris l'inégalité de concentration : P(∣Mn−μ∣≥ε)≤Vnε2P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V}{n\varepsilon^2}, puis j'impose Vnε2≤α\dfrac{V}{n\varepsilon^2} \leq \alpha.
    Voir
  4. 4
    Je résous pour nn : n≥Vαε2n \geq \dfrac{V}{\alpha \varepsilon^2}. Je prends le plus petit entier vérifiant cette inégalité.
  5. 5
    Je conclue en indiquant la taille minimale nn et j'interprète : avec cet échantillon, on a P(∣Mn−μ∣≥ε)≤αP(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \alpha.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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