Comment énoncer et interpréter la loi des grands nombres ? | MetMat

Comment énoncer et interpréter la loi des grands nombres ?

En énonçant que pour tout $\varepsilon > 0$ , $P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \to 0$ quand $n \to +\infty$ , et en interprétant : la moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance théorique

Énoncer la loi des grands nombres, l'interpréter en termes de convergence en probabilité et l'illustrer dans des situations concrètes.

L'objectif

Énoncer la loi des grands nombres, l'interpréter en termes de convergence en probabilité et l'illustrer dans des situations concrètes.

Le principe

La loi des grands nombres affirme que si $X_1, \ldots, X_n$ sont indépendantes et identiquement distribuées d'espérance $\mu$ , alors pour tout $\varepsilon > 0$ , $P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \to 0$ quand $n \to +\infty$ : la moyenne empirique $M_n$ converge en probabilité vers $\mu$ .

La méthode

1
Identifier la variable aléatoire $X$ dont on répète l'expérience de façon indépendante, son espérance $\mu = E(X)$ et sa variance $V(X)$ .
2
Énoncer la loi des grands nombres : pour tout $\varepsilon > 0$ , $P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \to 0$ quand $n \to +\infty$ , où $M_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$ .
3
Préciser ce que signifie la convergence en probabilité : il ne s'agit pas d'une certitude ( $M_n$ peut encore s'éloigner de $\mu$ ), mais la probabilité de tout écart, aussi petit soit-il, tend vers $0$ .
4
Interpréter concrètement dans le contexte : plus $n$ est grand, plus il est probable que $M_n$ soit proche de $\mu$ , sans que cela soit jamais garanti avec certitude pour un $n$ fixé.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance une pièce équilibrée $n$ fois et on note $M_n$ la fréquence de pile. Énoncer et interpréter la loi des grands nombres dans ce contexte.

Étape 1 —

Identifier la variable aléatoire

X

dont on répète l'expérience de façon indépendante, son espérance

\mu = E(X)

et sa variance

V(X)

Chaque lancer est une variable de Bernoulli $X_i$ de paramètre $p = 0{,}5$ , d'espérance $\mu = 0{,}5$ . La variable $M_n$ est la fréquence de pile parmi $n$ lancers.

Étape 2 —

Énoncer la loi des grands nombres : pour tout

\varepsilon > 0

P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \to 0

quand

n \to +\infty

, où

M_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}

La loi des grands nombres dit : pour tout $\varepsilon > 0$ , $P(|M_n - 0{,}5| \geq \varepsilon) \to 0$ quand $n \to +\infty$ .

Étape 3 —

Préciser ce que signifie la convergence en probabilité : il ne s'agit pas d'une certitude (

M_n

peut encore s'éloigner de

\mu

), mais la probabilité de tout écart, aussi petit soit-il, tend vers

0

Cela signifie une convergence en probabilité : il ne s'agit pas de dire qu'on aura exactement $50\%$ de pile, ni qu'on ne peut pas observer une longue série de faces. La probabilité de s'éloigner de $0{,}5$ devient simplement arbitrairement petite.

Étape 4 —

Interpréter concrètement dans le contexte : plus

n

est grand, plus il est probable que

M_n

soit proche de

\mu

, sans que cela soit jamais garanti avec certitude pour un

n

fixé.

Interprétation concrète : si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois, on peut être quasiment certain que la fréquence de pile sera très proche de $0{,}5$ , mais on ne peut pas l'affirmer avec certitude absolue.

Pour tout $\varepsilon > 0$ , $P(|M_n - 0{,}5| \geq \varepsilon) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ : la fréquence de pile converge en probabilité vers $0{,}5$ .

Application guidée

Un sondage interroge $n$ personnes sur leur intention de vote pour un candidat dont la vraie proportion est $p = 0{,}43$ . Interpréter la loi des grands nombres.

Application autonome 1

On simule le lancer d'un dé équilibré $n$ fois et on calcule $M_n$ , la moyenne des résultats. Vers quelle valeur $M_n$ converge-t-elle ? Justifier en utilisant la loi des grands nombres.

Application autonome 2

Une simulation Monte-Carlo estime $\pi$ en tirant aléatoirement des points dans le carré $[0,1]^2$ et en calculant la proportion $M_n$ tombant dans le quart de disque. Que garantit la loi des grands nombres ?

Application autonome 3

Un jeu de hasard donne un gain $X$ (en euros) d'espérance $\mu = 2{,}5$ à chaque partie. On joue $n$ parties indépendantes et on calcule le gain moyen $M_n$ . Énoncer et interpréter la loi des grands nombres dans ce contexte.

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En énonçant que pour tout ε>0\varepsilon > 0ε>0, P(∣Mn−μ∣≥ε)→0P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \to 0P(∣Mn​−μ∣≥ε)→0 quand n→+∞n \to +\inftyn→+∞, et en interprétant : la moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance théorique

Pour comprendre, fais des exercices !

En énonçant que pour tout $\varepsilon > 0$ , $P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \to 0$ quand $n \to +\infty$ , et en interprétant : la moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance théorique