Comment raisonner par récurrence pour établir une propriété ?

En initialisant au rang de base, en posant l'hypothèse de récurrence au rang $n$ , puis en démontrant la propriété au rang $n+1$

L'objectif

Démontrer qu'une propriété $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ en utilisant la récurrence simple.

Le principe

Si $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie et que $\mathcal{P}(n) \Rightarrow \mathcal{P}(n+1)$ pour tout $n \geq n_0$ , alors $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

La méthode

1
Initialisation : vérifier que $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie en calculant explicitement les deux membres (ou en vérifiant la propriété directement pour la valeur de base $n_0$ ).
2
Hypothèse de récurrence : supposer que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour un certain entier $n \geq n_0$ (énoncer clairement ce qu'on suppose).
3
Hérédité : démontrer $\mathcal{P}(n+1)$ en partant de l'expression au rang $n+1$ , en faisant apparaître l'expression au rang $n$ (souvent en séparant le dernier terme), puis en substituant l'hypothèse de récurrence.
4
Conclusion : par le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En initialisant au rang de base, en posant l'hypothèse de récurrence au rang nnn, puis en démontrant la propriété au rang n+1n+1n+1

Exemple corrigé

En initialisant au rang de base, en posant l'hypothèse de récurrence au rang $n$ , puis en démontrant la propriété au rang $n+1$