Comment appliquer le principe multiplicatif pour compter les éléments d'un produit cartésien ? | MetMat

Comment appliquer le principe multiplicatif pour compter les éléments d'un produit cartésien ?

En identifiant les k choix successifs indépendants et en multipliant leurs nombres de possibilités

Calculer le nombre total de façons de construire un objet en effectuant plusieurs choix successifs indépendants.

L'objectif

Calculer le nombre total de façons de construire un objet en effectuant plusieurs choix successifs indépendants.

Le principe

Si une construction se décompose en $k$ étapes avec respectivement $n_1, n_2, \ldots, n_k$ possibilités à chaque étape, alors le nombre total de constructions est $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$ .

La méthode

1
Je décompose la situation en étapes successives clairement ordonnées : étape 1, étape 2, ..., étape $k$ .
2
Pour chaque étape $i$ , je détermine le nombre $n_i$ de possibilités, en vérifiant que ce nombre ne dépend pas des choix effectués aux étapes précédentes (indépendance).
3
Si certaines étapes ne sont pas indépendantes, je raisonne conditionnellement : le nombre de possibilités à l'étape $i$ peut dépendre des choix précédents, mais reste constant quel que soit le choix précis fait.
4
J'applique le principe multiplicatif : nombre total $= n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k$ .

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Exercice d'exemple

Un restaurant propose $3$ entrées, $5$ plats et $4$ desserts. Combien de menus complets (une entrée, un plat, un dessert) peut-on composer ?

Étape 1 —

Je décompose la situation en étapes successives clairement ordonnées : étape 1, étape 2, ..., étape

k

La construction d'un menu se décompose en $3$ étapes : choisir l'entrée, choisir le plat, choisir le dessert.

Étape 2 —

Pour chaque étape

i

, je détermine le nombre

n_i

de possibilités, en vérifiant que ce nombre ne dépend pas des choix effectués aux étapes précédentes (indépendance).

Étape 1 : $3$ choix d'entrée ; étape 2 : $5$ choix de plat ; étape 3 : $4$ choix de dessert.

Étape 3 —

Si certaines étapes ne sont pas indépendantes, je raisonne conditionnellement : le nombre de possibilités à l'étape

i

peut dépendre des choix précédents, mais reste constant quel que soit le choix précis fait.

Le choix du plat ne dépend pas de l'entrée choisie, et le choix du dessert ne dépend pas des précédents : les étapes sont indépendantes.

Étape 4 —

J'applique le principe multiplicatif : nombre total

= n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k

Nombre total de menus $= 3 \times 5 \times 4 = 60$ .

On peut composer $60$ menus complets différents.

Application guidée

Combien de plaques d'immatriculation de la forme $\mathrm{AA}$ - $000$ - $\mathrm{AA}$ (2 lettres, 3 chiffres, 2 lettres) peut-on former en utilisant les $26$ lettres et les $10$ chiffres ?

Application autonome 1

On forme un comité de $3$ personnes : un président, un trésorier et un secrétaire, choisis parmi $10$ candidats différents (une même personne ne peut occuper deux postes). Combien de comités peut-on former ?

Application autonome 2

Un mot de passe doit contenir exactement $4$ caractères : les $2$ premiers sont des chiffres ( $0$ - $9$ ) et les $2$ derniers sont des lettres majuscules ( $A$ - $Z$ ). Combien de mots de passe sont possibles ?

Application autonome 3

Une urne contient $4$ boules de couleurs différentes. On tire successivement $2$ boules sans remise. Combien de tirages ordonnés sont possibles ?

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