Comment calculer le nombre de k-uplets (listes ordonnées avec ou sans répétition) d'un ensemble à n éléments ? | MetMat

Comment calculer le nombre de k-uplets (listes ordonnées avec ou sans répétition) d'un ensemble à n éléments ?

En appliquant $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ pour les k-uplets sans répétition (arrangements)

Calculer le nombre de listes ordonnées de longueur $k$ formées à partir d'un ensemble de $n$ éléments distincts, sans répétition.

L'objectif

Calculer le nombre de listes ordonnées de longueur $k$ formées à partir d'un ensemble de $n$ éléments distincts, sans répétition.

Le principe

À chaque position, le nombre d'éléments disponibles diminue de $1$ ; le nombre d'arrangements de $k$ éléments parmi $n$ est $A_n^k = n(n-1)\cdots(n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ .

La méthode

1
J'identifie l'ensemble de départ de taille $n$ et la longueur $k$ de la liste à former.
2
Je vérifie que les répétitions ne sont pas autorisées : chaque élément ne peut figurer qu'une seule fois dans la liste.
3
J'applique la formule $A_n^k = n(n-1)\cdots(n-k+1)$ , produit de $k$ facteurs consécutifs décroissants à partir de $n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Combien de façons peut-on ranger $3$ livres différents choisis parmi $7$ livres distincts sur une étagère ?

Étape 1 —

J'identifie l'ensemble de départ de taille

n

et la longueur

k

de la liste à former.

L'ensemble de départ contient $n = 7$ livres ; on en choisit $k = 3$ dans un ordre donné.

Étape 2 —

Je vérifie que les répétitions ne sont pas autorisées : chaque élément ne peut figurer qu'une seule fois dans la liste.

Un même livre ne peut occuper deux emplacements : pas de répétition.

Étape 3 —

J'applique la formule

A_n^k = n(n-1)\cdots(n-k+1)

, produit de

k

facteurs consécutifs décroissants à partir de

n

$A_7^3 = 7 \times 6 \times 5 = 210$ arrangements.

Il y a $210$ façons de ranger $3$ livres parmi $7$ .

Application guidée

Dans une course de $8$ coureurs, combien de podiums (or, argent, bronze) différents sont possibles ?

Application autonome 1

On choisit un président et un vice-président parmi $12$ candidats (une même personne ne peut occuper les deux postes). Combien de choix sont possibles ?

Application autonome 2

Combien de mots de $4$ lettres distinctes peut-on former avec les $26$ lettres de l'alphabet ?

Application autonome 3

On tire $2$ boules sans remise dans une urne contenant $10$ boules numérotées de $1$ à $10$ , et on note les numéros dans l'ordre du tirage. Combien de résultats ordonnés sont possibles ?

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En appliquant n(n−1)⋯(n−k+1)n(n-1)\cdots(n-k+1)n(n−1)⋯(n−k+1) pour les k-uplets sans répétition (arrangements)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ pour les k-uplets sans répétition (arrangements)