Comment appliquer le principe additif pour compter les éléments d'une réunion disjointe ? | MetMat

Comment appliquer le principe additif pour compter les éléments d'une réunion disjointe ?

En vérifiant que les ensembles sont deux à deux disjoints puis en sommant leurs cardinaux

Calculer le cardinal d'un ensemble en le décomposant en sous-ensembles disjoints.

L'objectif

Calculer le cardinal d'un ensemble en le décomposant en sous-ensembles disjoints.

Le principe

Si $E = E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_k$ avec $E_i \cap E_j = \emptyset$ pour $i \neq j$ , alors $|E| = |E_1| + |E_2| + \cdots + |E_k|$ .

La méthode

1
J'identifie les sous-ensembles $E_1, E_2, \ldots, E_k$ dont la réunion forme l'ensemble $E$ à dénombrer.
2
Je vérifie que ces sous-ensembles sont deux à deux disjoints : aucun élément de $E$ n'appartient à deux sous-ensembles distincts.
3
Je calcule le cardinal de chaque sous-ensemble $|E_i|$ .
4
J'additionne : $|E| = |E_1| + |E_2| + \cdots + |E_k|$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans un lycée, $120$ élèves font de l'espagnol, $85$ font de l'allemand, et aucun ne fait les deux. Combien d'élèves font une langue vivante 2 ?

Étape 1 —

J'identifie les sous-ensembles

E_1, E_2, \ldots, E_k

dont la réunion forme l'ensemble

E

à dénombrer.

Soit $E_1$ = élèves en espagnol et $E_2$ = élèves en allemand. L'ensemble $E$ des élèves en LV2 est $E_1 \cup E_2$ .

Étape 2 —

Je vérifie que ces sous-ensembles sont deux à deux disjoints : aucun élément de

E

n'appartient à deux sous-ensembles distincts.

Aucun élève ne fait les deux langues : $E_1 \cap E_2 = \emptyset$ . Les ensembles sont bien disjoints.

Étape 3 —

Je calcule le cardinal de chaque sous-ensemble

|E_i|

$|E_1| = 120$ , $|E_2| = 85$ .

Étape 4 —

J'additionne :

|E| = |E_1| + |E_2| + \cdots + |E_k|

$|E| = 120 + 85 = 205$ élèves.

Il y a $205$ élèves qui font une langue vivante 2.

Application guidée

Combien de multiples de $7$ compris entre $1$ et $100$ sont pairs ou impairs ?

Application autonome 1

Combien de mots de $4$ lettres sans répétition sur $\{A, B, C, D, E\}$ commencent par $A$ , par $B$ ou par $C$ ?

Application autonome 2

On range $5$ livres distincts sur une étagère. Combien de rangements placent le livre rouge en 1re ou en 5e position ?

Application autonome 3

Dans une école, $40$ élèves pratiquent le judo, $30$ pratiquent la natation, et $12$ pratiquent les deux. Combien d'élèves pratiquent au moins une de ces deux activités ?

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