En calculant les probabilités cumulées $P(X \leq k)$ successivement (en incrémentant $k$ depuis $0$ ) jusqu'à dépasser le seuil imposé $1 - \alpha$

Trouver le plus petit entier $k$ tel que $P(X \leq k) \geq 1 - \alpha$ (ou satisfaisant une autre inégalité de seuil) pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ .

L'objectif

Trouver le plus petit entier $k$ tel que $P(X \leq k) \geq 1 - \alpha$ (ou satisfaisant une autre inégalité de seuil) pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ .

Le principe

Il n'existe pas de formule directe : on calcule $P(X \leq k)$ pour $k = 0, 1, 2, \ldots$ en additionnant les termes $P(X = i)$ un par un, et on s'arrête dès que la valeur cumulée dépasse le seuil $1 - \alpha$ .

La méthode

1
Reformuler l'inégalité de seuil : par exemple «la probabilité que $X$ ne dépasse pas $k$ soit au moins $1 - \alpha$ » s'écrit $P(X \leq k) \geq 1 - \alpha$ .
2
Calculer $P(X \leq 0) = P(X = 0)$ et vérifier si la condition est satisfaite.
Comment calculer $P(X = k)$ pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ ?Voir
3
Tant que la condition n'est pas satisfaite, incrémenter $k$ d'une unité et ajouter $P(X = k)$ à la somme cumulée : $P(X \leq k) = P(X \leq k-1) + P(X = k)$ .
Comment calculer $P(X \leq k)$, $P(X \geq k)$, $P(k \leq X \leq k')$ pour une loi binomiale ?Voir
4
S'arrêter au premier $k$ pour lequel la condition est vérifiée, et conclure en interprétant le résultat dans le contexte du problème.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un contrôleur qualité vérifie $n = 25$ pièces. Chaque pièce est défectueuse avec probabilité $p = 0{,}08$ , indépendamment des autres. Trouver le plus petit entier $k$ tel que $P(X \leq k) \geq 0{,}95$ , où $X$ est le nombre de pièces défectueuses.

Étape 1 —

Reformuler l'inégalité de seuil : par exemple «la probabilité que

X

ne dépasse pas

k

soit au moins

1 - \alpha

» s'écrit

P(X \leq k) \geq 1 - \alpha

$X \sim \mathcal{B}(25\,;\,0{,}08)$ . On cherche le plus petit $k$ tel que $P(X \leq k) \geq 0{,}95$ . On calcule les probabilités cumulées en partant de $k = 0$ .

Étape 2 —

Calculer

P(X \leq 0) = P(X = 0)

et vérifier si la condition est satisfaite.

$P(X = 0) = (0{,}92)^{25} \approx 0{,}1258$ . Donc $P(X \leq 0) \approx 0{,}126 < 0{,}95$ .

Étape 3 —

Tant que la condition n'est pas satisfaite, incrémenter

k

d'une unité et ajouter

P(X = k)

à la somme cumulée :

P(X \leq k) = P(X \leq k-1) + P(X = k)

On calcule successivement :
$P(X = 1) = 25 \times 0{,}08 \times (0{,}92)^{24} \approx 0{,}2740$ , d'où $P(X \leq 1) \approx 0{,}400$ .
$P(X = 2) = \binom{25}{2}(0{,}08)^2(0{,}92)^{23} \approx 0{,}2850$ , d'où $P(X \leq 2) \approx 0{,}685$ .
$P(X = 3) = \binom{25}{3}(0{,}08)^3(0{,}92)^{22} \approx 0{,}1879$ , d'où $P(X \leq 3) \approx 0{,}873$ .
$P(X = 4) = \binom{25}{4}(0{,}08)^4(0{,}92)^{21} \approx 0{,}0888$ , d'où $P(X \leq 4) \approx 0{,}962 \geq 0{,}95$ .

Étape 4 —

S'arrêter au premier

k

pour lequel la condition est vérifiée, et conclure en interprétant le résultat dans le contexte du problème.

Le premier $k$ pour lequel $P(X \leq k) \geq 0{,}95$ est $k = 4$ . Avec $P(X \leq 3) \approx 0{,}873 < 0{,}95$ et $P(X \leq 4) \approx 0{,}962 \geq 0{,}95$ .

$k = 4$ : $P(X \leq 4) \approx 0{,}962 \geq 0{,}95$

Application guidée

Dans une chaîne de production, chaque pièce est défectueuse avec une probabilité $p = 0{,}1$ , indépendamment des autres. On contrôle $n = 20$ pièces. On souhaite que la probabilité d'avoir au plus $k$ pièces défectueuses soit supérieure à $0{,}9$ . Trouver le plus petit $k$ convenable.

Application autonome 1

Une compagnie d'assurance estime que $15\,\%$ des assurés déclarent un sinistre dans l'année. Sur $n = 8$ assurés, trouver le plus petit entier $k$ tel que $P(X \geq k) \leq 0{,}05$ .

Application autonome 2

Un joueur tente une épreuve où il réussit avec probabilité $p = 0{,}4$ , et il la répète $n = 15$ fois indépendamment. Soit $X$ le nombre de succès. Trouver le plus petit entier $k$ tel que $P(X \leq k) \geq 0{,}9$ .

Application autonome 3

On lance une pièce équilibrée $n = 12$ fois. Soit $X$ le nombre de Piles. Trouver le plus petit entier $k$ tel que $P(X \leq k) \geq 0{,}75$ .

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En calculant les probabilités cumulées P(X≤k)P(X \leq k)P(X≤k) successivement (en incrémentant kkk depuis 000) jusqu'à dépasser le seuil imposé 1−α1 - \alpha1−α

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant les probabilités cumulées $P(X \leq k)$ successivement (en incrémentant $k$ depuis $0$ ) jusqu'à dépasser le seuil imposé $1 - \alpha$