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Comment résoudre un problème de seuil avec une loi binomiale ?

En calculant les probabilités cumulées P(X≤k)P(X \leq k) successivement (en incrémentant kk depuis 00) jusqu'à dépasser le seuil imposé 1−α1 - \alpha

L'objectif

Trouver le plus petit entier kk tel que P(X≤k)≥1−αP(X \leq k) \geq 1 - \alpha (ou satisfaisant une autre inégalité de seuil) pour X∼B(n,p)X \sim \mathcal{B}(n, p).

Le principe

Il n'existe pas de formule directe : on calcule P(X≤k)P(X \leq k) pour k=0,1,2,…k = 0, 1, 2, \ldots en additionnant les termes P(X=i)P(X = i) un par un, et on s'arrête dès que la valeur cumulée dépasse le seuil 1−α1 - \alpha.

La méthode
  1. 1
    Je reformule l'inégalité de seuil : par exemple «la probabilité que XX ne dépasse pas kk soit au moins 1−α1 - \alpha» s'écrit P(X≤k)≥1−αP(X \leq k) \geq 1 - \alpha.
  2. 2
    Je calcule P(X≤0)=P(X=0)P(X \leq 0) = P(X = 0) et je vérifie si la condition est satisfaite.
    Voir
  3. 3
    Tant que la condition n'est pas satisfaite, j'incrémente kk d'une unité et j'ajoute P(X=k)P(X = k) à la somme cumulée : P(X≤k)=P(X≤k−1)+P(X=k)P(X \leq k) = P(X \leq k-1) + P(X = k).
    Voir
  4. 4
    Je m'arrête au premier kk pour lequel la condition est vérifiée, et je conclure en interprétant le résultat dans le contexte du problème.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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