Comment représenter une succession d'épreuves par un arbre et calculer des probabilités ? | MetMat

Comment représenter une succession d'épreuves par un arbre et calculer des probabilités ?

En construisant l'arbre des possibilités, en multipliant les probabilités le long d'une branche (indépendance), puis en additionnant les branches correspondant à l'événement souhaité

Calculer la probabilité d'un événement défini par une succession d'épreuves en utilisant un arbre de probabilités.

L'objectif

Calculer la probabilité d'un événement défini par une succession d'épreuves en utilisant un arbre de probabilités.

Le principe

La probabilité d'un chemin dans l'arbre est le produit des probabilités de ses branches (règle de multiplication) ; la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui lui sont favorables (règle d'addition).

La méthode

1
Dessiner l'arbre en faisant partir un nœud pour chaque épreuve, avec une branche par issue possible, étiquetée par sa probabilité.
2
Calculer la probabilité de chaque chemin (issue complète) en multipliant les probabilités de toutes les branches qui le composent.
3
Identifier les chemins qui correspondent à l'événement souhaité, puis additionner leurs probabilités pour obtenir $P(A)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance une pièce équilibrée deux fois. Calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois Face.

Étape 1 —

Dessiner l'arbre en faisant partir un nœud pour chaque épreuve, avec une branche par issue possible, étiquetée par sa probabilité.

L'arbre comporte deux niveaux. Premier lancer : Face ( $\frac{1}{2}$ ) ou Pile ( $\frac{1}{2}$ ). Deuxième lancer : Face ( $\frac{1}{2}$ ) ou Pile ( $\frac{1}{2}$ ), indépendamment.

Étape 2 —

Calculer la probabilité de chaque chemin (issue complète) en multipliant les probabilités de toutes les branches qui le composent.

Les quatre chemins et leurs probabilités : FF $\to \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ; FP $\to \frac{1}{4}$ ; PF $\to \frac{1}{4}$ ; PP $\to \frac{1}{4}$ .

Étape 3 —

Identifier les chemins qui correspondent à l'événement souhaité, puis additionner leurs probabilités pour obtenir

P(A)

L'événement «exactement une Face» correspond aux chemins FP et PF : $P = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ .

$P(\text{exactement une Face}) = \dfrac{1}{2}$

Application guidée

Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces deux fois. On appelle «succès» l'obtention d'un 6. Calculer la probabilité d'obtenir au moins un succès.

Application autonome 1

Une urne contient 2 boules rouges (R) et 3 boules bleues (B). On tire successivement 3 boules avec remise. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges.

Application autonome 2

Dans une classe, $30\,\%$ des élèves ont lunettes (L) et $70\,\%$ non ( $\overline L$ ). On interroge au hasard $2$ élèves l'un après l'autre (tirage avec remise). Calculer la probabilité d'obtenir exactement un élève à lunettes.

Application autonome 3

Un QCM comporte $3$ questions, chacune avec $4$ choix dont une seule bonne réponse. Un candidat répond au hasard. Calculer la probabilité qu'il obtienne au moins $2$ bonnes réponses.

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