Comment calculer les puissances d'une matrice carrée ? | MetMat

Comment calculer les puissances d'une matrice carrée ?

En cherchant une relation de récurrence sur les coefficients de $A^n$ à partir de l'équation caractéristique (théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices $2 \times 2$ ) : si $A^2 = pA + qI$ , alors $A^n$ vérifie la même relation

Exprimer $A^n$ pour tout $n$ à l'aide d'une relation de récurrence issue du polynôme caractéristique.

Hors programme — Cette méthode va au-delà du B.O. officiel. Proposée pour aller plus loin.

L'objectif

Exprimer $A^n$ pour tout $n$ à l'aide d'une relation de récurrence issue du polynôme caractéristique.

Le principe

Par le théorème de Cayley-Hamilton, toute matrice carrée annule son polynôme caractéristique ; pour une matrice $2 \times 2$ d'équation caractéristique $\lambda^2 - p\lambda - q = 0$ , on a $A^2 = pA + qI$ , et en multipliant par $A^{n-2}$ : $A^n = pA^{n-1} + qA^{n-2}$ .

La méthode

1
Calculer le polynôme caractéristique de $A$ : $\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - \mathrm{tr}(A)\lambda + \det(A)$ , où $\mathrm{tr}(A) = a + d$ et $\det(A) = ad - bc$ .
2
Par Cayley-Hamilton, $A^2 = \mathrm{tr}(A) \cdot A - \det(A) \cdot I$ . On pose $p = \mathrm{tr}(A)$ et $q = -\det(A)$ ; la relation de récurrence devient $A^n = p A^{n-1} + q A^{n-2}$ .
3
Poser $a_n$ un coefficient générique de $A^n$ (par exemple $(A^n)_{11}$ ). Il vérifie la même récurrence $a_n = p \, a_{n-1} + q \, a_{n-2}$ avec conditions initiales $a_0$ (coefficient de $I$ ) et $a_1$ (coefficient de $A$ ).
4
Résoudre la suite récurrente linéaire d'ordre 2 (équation caractéristique $r^2 = pr + q$ , trouver $r_1, r_2$ , écrire $a_n = \alpha r_1^n + \beta r_2^n$ ), puis en déduire chaque coefficient de $A^n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix}3 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$ . Exprimer $A^n$ pour tout $n \geq 0$ grâce à Cayley-Hamilton.

Étape 1 —

Calculer le polynôme caractéristique de

A

\chi_A(\lambda) = \lambda^2 - \mathrm{tr}(A)\lambda + \det(A)

, où

\mathrm{tr}(A) = a + d

\det(A) = ad - bc

$\mathrm{tr}(A) = 5$ , $\det(A) = 6$ . Polynôme caractéristique : $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$ , soit $A^2 = 5A - 6I$ .

Étape 2 —

Par Cayley-Hamilton,

A^2 = \mathrm{tr}(A) \cdot A - \det(A) \cdot I

. On pose

p = \mathrm{tr}(A)

q = -\det(A)

; la relation de récurrence devient

A^n = p A^{n-1} + q A^{n-2}

Relation de récurrence : $A^n = 5A^{n-1} - 6A^{n-2}$ . Équation caractéristique $r^2 - 5r + 6 = 0$ : racines $r_1 = 3$ , $r_2 = 2$ .

Étape 3 —

Poser

a_n

un coefficient générique de

A^n

(par exemple

(A^n)_{11}

). Il vérifie la même récurrence

a_n = p \, a_{n-1} + q \, a_{n-2}

avec conditions initiales

a_0

(coefficient de

I

) et

a_1

(coefficient de

A

Coefficient $(1,1)$ : $a_n = \alpha \cdot 3^n + \beta \cdot 2^n$ . Conditions initiales : $a_0 = 1$ et $a_1 = 3$ . Système : $\alpha + \beta = 1$ , $3\alpha + 2\beta = 3$ , d'où $\alpha = 1$ , $\beta = 0$ .

Étape 4 —

Résoudre la suite récurrente linéaire d'ordre 2 (équation caractéristique

r^2 = pr + q

, trouver

r_1, r_2

, écrire

a_n = \alpha r_1^n + \beta r_2^n

), puis en déduire chaque coefficient de

A^n

De même, $(A^n)_{12} = 3^n - 2^n$ , $(A^n)_{21} = 0$ , $(A^n)_{22} = 2^n$ . Résultat : $A^n = \begin{pmatrix}3^n & 3^n - 2^n \\ 0 & 2^n\end{pmatrix}$ .

$A^n = \begin{pmatrix}3^n & 3^n - 2^n \\ 0 & 2^n\end{pmatrix}$

Application guidée

Soit $A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$ . Exprimer $A^n$ pour $n \geq 1$ .

Application autonome 1

Soit $A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}$ . Exprimer $A^n$ .

Application autonome 2

Soit $A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$ . Exprimer $A^n$ pour tout $n \geq 0$ à l'aide du théorème de Cayley-Hamilton.

Application autonome 3

Soit $A = \begin{pmatrix}4 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}$ . Exprimer $A^n$ pour tout $n \geq 0$ .

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En cherchant une relation de récurrence sur les coefficients de AnA^nAn à partir de l'équation caractéristique (théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices 2×22 \times 22×2) : si A2=pA+qIA^2 = pA + qIA2=pA+qI, alors AnA^nAn vérifie la même relation

Pour comprendre, fais des exercices !

En cherchant une relation de récurrence sur les coefficients de $A^n$ à partir de l'équation caractéristique (théorème de Cayley-Hamilton pour les matrices $2 \times 2$ ) : si $A^2 = pA + qI$ , alors $A^n$ vérifie la même relation