Comment calculer les puissances d'une matrice carrée ?

En calculant itérativement $A^2 = A \cdot A$ , $A^3 = A^2 \cdot A$ , etc., par multiplication matricielle successive

L'objectif

Calculer $A^n$ pour de petites valeurs de $n$ par multiplications matricielles successives.

Le principe

On calcule $A^2 = A \cdot A$ , puis $A^3 = A^2 \cdot A$ , etc., en appliquant à chaque étape la règle ligne × colonne.

La méthode

1
Calculer $A^2 = A \cdot A$ par la règle ligne × colonne.
2
Pour obtenir $A^k$ ( $k \geq 3$ ), calculer $A^k = A^{k-1} \cdot A$ en réutilisant le résultat précédent.
3
Chercher un éventuel pattern dans les coefficients de $A^k$ pour conjecturer une formule générale pour $A^n$ .

Difficulté croissante de 1 à 4

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En calculant itérativement A2=A⋅AA^2 = A \cdot AA2=A⋅A, A3=A2⋅AA^3 = A^2 \cdot AA3=A2⋅A, etc., par multiplication matricielle successive