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Comment calculer l'inverse d'une matrice carrée ?

En utilisant la formule explicite pour une matrice 2×22 \times 2 : si A = $$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$$ et det⁡(A)=ad−bc≠0\det(A) = ad-bc \neq 0, alors A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} $$\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$

L'objectif

Calculer l'inverse d'une matrice 2×22 \times 2 en appliquant la formule explicite.

Le principe

Une matrice 2×22 \times 2 est inversible si et seulement si son déterminant det⁡(A)=ad−bc\det(A) = ad - bc est non nul ; l'inverse est alors A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} $$\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$$ .

La méthode
  1. 1
    Calculer det⁡(A)=ad−bc\det(A) = ad - bc. Si det⁡(A)=0\det(A) = 0, la matrice n'est pas inversible (s'arrêter).
  2. 2
    Écrire A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} $$\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$$ en échangeant les coefficients diagonaux et en changeant le signe des antidiagonaux.
  3. 3
    Vérifier en calculant A⋅A−1A \cdot A^{-1} : on doit obtenir I_2 = $$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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