Comment effectuer les opérations de base sur les matrices ? | MetMat

Comment effectuer les opérations de base sur les matrices ?

En calculant le produit $AB$ par la règle « ligne $\times$ colonne » : $(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}$

Multiplier deux matrices en appliquant la règle ligne × colonne.

L'objectif

Multiplier deux matrices en appliquant la règle ligne × colonne.

Le principe

Le produit $AB$ est défini si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ ; le coefficient $(AB)_{ij}$ est le produit scalaire de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ .

La méthode

1
Vérifier la compatibilité : si $A$ est $m \times p$ et $B$ est $p \times n$ , alors $AB$ est $m \times n$ .
2
Pour chaque coefficient $(i,j)$ de $AB$ , calculer $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} A_{ik} B_{kj}$ (produit scalaire de la ligne $i$ de $A$ et de la colonne $j$ de $B$ ).
3
Attention : en général $AB \neq BA$ (le produit matriciel n'est pas commutatif).

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Exercice d'exemple

Calculer $AB$ avec $A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Vérifier la compatibilité : si

A

est

m \times p

B

est

p \times n

, alors

AB

est

m \times n

$A$ est $2 \times 2$ et $B$ est $2 \times 2$ : $AB$ est $2 \times 2$ .

Étape 2 —

Pour chaque coefficient

(i,j)

AB

, calculer

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} A_{ik} B_{kj}

(produit scalaire de la ligne

i

A

et de la colonne

j

B

$(AB)_{11} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2$ , $(AB)_{12} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 1$ , $(AB)_{21} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 = 4$ , $(AB)_{22} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 3$ .

Étape 3 —

Attention : en général

AB \neq BA

(le produit matriciel n'est pas commutatif).

$BA$ donnerait $\begin{pmatrix}3 & 4 \\ 1 & 2\end{pmatrix} \neq AB$ : non commutativité confirmée.

$AB = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{pmatrix}$

Application guidée

Calculer $AB$ avec $A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 3 & -1\end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Vérifier que $\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3\end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Calculer $A^2$ avec $A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Calculer $AB$ et $BA$ avec $A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 1 & -1\end{pmatrix}$ , et vérifier que $AB \neq BA$ .

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En calculant le produit ABABAB par la règle « ligne ×\times× colonne » : (AB)ij=∑kAikBkj(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}(AB)ij​=∑k​Aik​Bkj​

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant le produit $AB$ par la règle « ligne $\times$ colonne » : $(AB)_{ij} = \sum_k A_{ik} B_{kj}$