Comment déterminer la distribution invariante d'une chaîne de Markov ?

En résolvant le système $\pi P = \pi$ (ou $\pi(P - I) = 0$ ) avec la contrainte de normalisation $\sum_i \pi_i = 1$ ; pour 2 états, cela donne un système $2 \times 2$ simple

L'objectif

Trouver la distribution invariante $\pi$ d'une chaîne de Markov telle que $\pi P = \pi$ et $\sum_i \pi_i = 1$ .

Le principe

La distribution invariante $\pi$ vérifie $\pi P = \pi$ , c'est-à-dire que c'est un vecteur propre à gauche de $P$ pour la valeur propre 1 ; la contrainte $\sum_i \pi_i = 1$ permet de l'identifier de façon unique (pour une chaîne irréductible).

La méthode

1
Poser $\pi = (\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_k)$ et écrire le système $\pi P = \pi$ , ce qui donne $k$ équations (dont une est redondante).
2
Remplacer l'une des équations redondantes par la contrainte de normalisation $\pi_1 + \pi_2 + \cdots + \pi_k = 1$ .
3
Résoudre le système obtenu pour trouver les composantes $\pi_i$ de la distribution invariante.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En résolvant le système πP=π\pi P = \piπP=π (ou π(P−I)=0\pi(P - I) = 0π(P−I)=0) avec la contrainte de normalisation ∑iπi=1\sum_i \pi_i = 1∑i​πi​=1 ; pour 2 états, cela donne un système 2×22 \times 22×2 simple

Exemple corrigé

En résolvant le système $\pi P = \pi$ (ou $\pi(P - I) = 0$ ) avec la contrainte de normalisation $\sum_i \pi_i = 1$ ; pour 2 états, cela donne un système $2 \times 2$ simple