En utilisant l'identité $z^n - a^n = (z-a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1})$

Factoriser une expression $z^n - a^n$ ou un polynôme qui s'y ramène, en appliquant l'identité de factorisation.

L'objectif

Factoriser une expression $z^n - a^n$ ou un polynôme qui s'y ramène, en appliquant l'identité de factorisation.

Le principe

Pour tout entier $n \geq 1$ et tout complexe $a$ : $z^n - a^n = (z-a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-2}z + a^{n-1})$ .

La méthode

1
Identifier que l'expression est de la forme $z^n - a^n$ (ou s'y ramène après substitution ou mise en facteur).
2
Appliquer l'identité : $z^n - a^n = (z-a)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}z^k = (z-a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1})$ .
3
Vérifier la factorisation en développant le produit, puis continuer à factoriser le second facteur si nécessaire (chercher ses racines ou appliquer à nouveau l'identité).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Factoriser $z^2 - 1$ .

Étape 1 —

Identifier que l'expression est de la forme

z^n - a^n

(ou s'y ramène après substitution ou mise en facteur).

On reconnaît $z^2 - 1^2$ , soit $n=2$ et $a=1$ .

Étape 2 —

Appliquer l'identité :

z^n - a^n = (z-a)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}z^k = (z-a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1})

$z^2 - 1 = (z-1)(z+1)$ .

Étape 3 —

Vérifier la factorisation en développant le produit, puis continuer à factoriser le second facteur si nécessaire (chercher ses racines ou appliquer à nouveau l'identité).

Vérification : $(z-1)(z+1) = z^2 - 1$ ✓. Les deux facteurs sont de degré 1, la factorisation est complète sur $\mathbb{C}$ .

$z^2 - 1 = (z-1)(z+1)$ .

Application guidée

Factoriser $z^3 - 8$ .

Application autonome 1

Factoriser $z^4 - 1$ .

Application autonome 2

Factoriser $z^3 + 1$ (en utilisant $z^3 - (-1)^3$ ).

Application autonome 3

Factoriser $z^4 - 16$ dans $\mathbb{C}$ .

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En utilisant l'identité zn−an=(z−a)(zn−1+azn−2+⋯+an−1)z^n - a^n = (z-a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1})zn−an=(z−a)(zn−1+azn−2+⋯+an−1)

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En utilisant l'identité $z^n - a^n = (z-a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1})$