Comment factoriser un polynôme dont une racine est connue ?

En effectuant la division euclidienne de $P(z)$ par $(z - a)$ pour obtenir $P(z) = (z-a)Q(z)$

L'objectif

Factoriser un polynôme $P$ dont une racine $a$ est connue en obtenant $P(z) = (z-a)Q(z)$ .

Le principe

Si $P(a) = 0$ , alors $(z-a)$ divise $P(z)$ et la division euclidienne de $P$ par $(z-a)$ est exacte (reste nul).

La méthode

1
Vérifier que $P(a) = 0$ (sinon $a$ n'est pas racine et la méthode ne s'applique pas).
2
Effectuer la division euclidienne de $P(z)$ par $(z-a)$ : chercher $Q(z)$ de degré $\deg P - 1$ tel que $P(z) = (z-a)Q(z)$ , en identifiant les coefficients degré par degré (ou par l'algorithme de Horner).
3
Écrire la factorisation $P(z) = (z-a)Q(z)$ et, si besoin, continuer à factoriser $Q(z)$ (en cherchant ses racines).

Difficulté croissante de 1 à 4

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En effectuant la division euclidienne de P(z)P(z)P(z) par (z−a)(z - a)(z−a) pour obtenir P(z)=(z−a)Q(z)P(z) = (z-a)Q(z)P(z)=(z−a)Q(z)