Comment résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans $\mathbb{C}$ ?

En cherchant les racines carrées d'un complexe $\delta$ en posant $\delta = u + iv$ et en résolvant le système $u^2 - v^2 = \mathrm{Re}(\delta)$ , $2uv = \mathrm{Im}(\delta)$ , $u^2 + v^2 = |\delta|$

L'objectif

Calculer les racines carrées d'un nombre complexe $\delta$ en résolvant un système réel, afin de résoudre une équation du second degré à coefficients complexes.

Le principe

Si $w = u + iv$ est une racine carrée de $\delta = p + iq$ , alors $w^2 = \delta$ se traduit par le système $u^2 - v^2 = p$ , $2uv = q$ , complété par $u^2 + v^2 = |\delta|$ .

La méthode

1
Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ (qui peut être complexe si les coefficients sont complexes, ou négatif réel). Poser $\delta = \Delta$ et chercher $w = u + iv$ tel que $w^2 = \delta$ .
2
Développer $w^2 = u^2 - v^2 + 2uvi$ et identifier partie réelle et imaginaire : $u^2 - v^2 = \mathrm{Re}(\delta)$ , $2uv = \mathrm{Im}(\delta)$ . Utiliser $u^2 + v^2 = |\delta|$ pour former un système à deux équations en $u^2$ et $v^2$ .
3
Résoudre le système pour obtenir $u^2$ et $v^2$ (valeurs positives), en déduire les valeurs de $u$ et $v$ (cohérentes avec le signe de $2uv$ ), puis écrire les deux racines $w_1 = u + iv$ et $w_2 = -(u+iv)$ .
4
Conclure : les solutions de l'équation sont $z = \frac{-b + w_1}{2a}$ et $z = \frac{-b + w_2}{2a}$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En cherchant les racines carrées d'un complexe δ\deltaδ en posant δ=u+iv\delta = u + ivδ=u+iv et en résolvant le système u2−v2=Re(δ)u^2 - v^2 = \mathrm{Re}(\delta)u2−v2=Re(δ), 2uv=Im(δ)2uv = \mathrm{Im}(\delta)2uv=Im(δ), u2+v2=∣δ∣u^2 + v^2 = |\delta|u2+v2=∣δ∣

Exemple corrigé

En cherchant les racines carrées d'un complexe $\delta$ en posant $\delta = u + iv$ et en résolvant le système $u^2 - v^2 = \mathrm{Re}(\delta)$ , $2uv = \mathrm{Im}(\delta)$ , $u^2 + v^2 = |\delta|$