Comment résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans $\mathbb{C}$ ?

En calculant $\Delta = b^2 - 4ac$ ; si $\Delta < 0$ , les racines sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

L'objectif

Résoudre dans $\mathbb{C}$ une équation du second degré à coefficients réels en utilisant le discriminant.

Le principe

Si $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ , l'équation admet deux racines complexes conjuguées $z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .

La méthode

1
Identifier les coefficients $a$ , $b$ , $c$ et calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .
2
Si $\Delta > 0$ : deux racines réelles $z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Si $\Delta = 0$ : racine double $z = \frac{-b}{2a}$ . Si $\Delta < 0$ : deux racines complexes conjuguées $z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ .
3
Vérifier que les deux racines obtenues sont bien conjuguées l'une de l'autre (partie réelle identique, parties imaginaires opposées).

Difficulté croissante de 1 à 5

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En calculant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac ; si Δ<0\Delta < 0Δ<0, les racines sont z=−b±i−Δ2az = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}z=2a−b±i−Δ​​