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Comment appliquer la formule de Moivre pour calculer des puissances ou des expressions trigonométriques ?

En développant (cos⁡θ+isin⁡θ)n(\cos\theta + i\sin\theta)^n par le binôme de Newton et en identifiant parties réelle et imaginaire pour obtenir cos⁡(nθ)\cos(n\theta) et sin⁡(nθ)\sin(n\theta)

L'objectif

Établir les expressions de cos⁡(nθ)\cos(n\theta) et sin⁡(nθ)\sin(n\theta) en fonction de cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta en développant (cos⁡θ+isin⁡θ)n(\cos\theta + i\sin\theta)^n.

Le principe

Par la formule de Moivre, (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) ; en développant le membre gauche par le binôme de Newton, l'identification des parties réelle et imaginaire donne les formules cherchées.

La méthode
  1. 1
    Écrire (cos⁡θ+isin⁡θ)n=∑k=0n(nk)cos⁡n−kθ (isin⁡θ)k(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos^{n-k}\theta\,(i\sin\theta)^k et simplifier en séparant les puissances paires (iki^k réel) et impaires (iki^k imaginaire pur).
  2. 2
    Identifier la partie réelle avec cos⁡(nθ)\cos(n\theta) (termes en kk pair) et la partie imaginaire avec sin⁡(nθ)\sin(n\theta) (termes en kk impair), puis simplifier éventuellement en utilisant sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta pour n'exprimer qu'en cos⁡θ\cos\theta ou sin⁡θ\sin\theta.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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