Comment appliquer la formule de Moivre pour calculer des puissances ou des expressions trigonométriques ? | MetMat

Comment appliquer la formule de Moivre pour calculer des puissances ou des expressions trigonométriques ?

En développant $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ par le binôme de Newton et en identifiant parties réelle et imaginaire pour obtenir $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$

Établir les expressions de $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ en développant $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ .

L'objectif

Établir les expressions de $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ en développant $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ .

Le principe

Par la formule de Moivre, $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ ; en développant le membre gauche par le binôme de Newton, l'identification des parties réelle et imaginaire donne les formules cherchées.

La méthode

1
Écrire $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos^{n-k}\theta\,(i\sin\theta)^k$ et simplifier en séparant les puissances paires ( $i^k$ réel) et impaires ( $i^k$ imaginaire pur).
2
Identifier la partie réelle avec $\cos(n\theta)$ (termes en $k$ pair) et la partie imaginaire avec $\sin(n\theta)$ (termes en $k$ impair), puis simplifier éventuellement en utilisant $\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$ pour n'exprimer qu'en $\cos\theta$ ou $\sin\theta$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Retrouver les formules $\cos(2\theta)$ et $\sin(2\theta)$ via le binôme de Newton.

Étape 1 —

Écrire

(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cos^{n-k}\theta\,(i\sin\theta)^k

et simplifier en séparant les puissances paires (

i^k

réel) et impaires (

i^k

imaginaire pur).

$(c+is)^2 = c^2 + 2c(is) + (is)^2 = c^2 - s^2 + 2ics$ où $c=\cos\theta$ , $s=\sin\theta$ .

Étape 2 —

Identifier la partie réelle avec

\cos(n\theta)

(termes en

k

pair) et la partie imaginaire avec

\sin(n\theta)

(termes en

k

impair), puis simplifier éventuellement en utilisant

\sin^2\theta = 1-\cos^2\theta

pour n'exprimer qu'en

\cos\theta

\sin\theta

Partie réelle : $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ . Partie imaginaire : $\sin(2\theta) = 2\cos\theta\sin\theta$ .

$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ , $\quad \sin(2\theta) = 2\cos\theta\sin\theta$

Application guidée

Exprimer $\cos(3\theta)$ uniquement en fonction de $\cos\theta$ via Moivre.

Application autonome 1

Exprimer $\sin(3\theta)$ uniquement en fonction de $\sin\theta$ via Moivre.

Application autonome 2

En déduire les valeurs exactes de $\cos(\pi/9)$ (résolution implicite) et poser l'équation satisfaite par $\cos(\pi/9)$ .

Application autonome 3

Exprimer $\cos(5\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ via Moivre.

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En développant (cos⁡θ+isin⁡θ)n(\cos\theta + i\sin\theta)^n(cosθ+isinθ)n par le binôme de Newton et en identifiant parties réelle et imaginaire pour obtenir cos⁡(nθ)\cos(n\theta)cos(nθ) et sin⁡(nθ)\sin(n\theta)sin(nθ)

Pour comprendre, fais des exercices !

En développant $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ par le binôme de Newton et en identifiant parties réelle et imaginaire pour obtenir $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$