Comment utiliser les formules d'Euler pour transformer des expressions trigonométriques ? | MetMat

Comment utiliser les formules d'Euler pour transformer des expressions trigonométriques ?

En développant $e^{in\theta} = (e^{i\theta})^n$ et en identifiant parties réelle et imaginaire pour exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en termes de $\cos\theta$ et $\sin\theta$

Exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ pour un entier $n$ donné.

L'objectif

Exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ pour un entier $n$ donné.

Le principe

L'égalité $e^{in\theta} = (e^{i\theta})^n = (\cos\theta + i\sin\theta)^n$ permet, après développement par le binôme de Newton, d'identifier les parties réelle et imaginaire.

La méthode

1
Développer $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ par le binôme de Newton, en utilisant $i^k$ cyclique.
2
Identifier la partie réelle avec $\cos(n\theta)$ et la partie imaginaire avec $\sin(n\theta)$ , puis simplifier à l'aide de $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ si nécessaire.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exprimer $\cos(2\theta)$ et $\sin(2\theta)$ en termes de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ .

Étape 1 —

Développer

(\cos\theta + i\sin\theta)^n

par le binôme de Newton, en utilisant

i^k

cyclique.

$(\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos^2\theta + 2i\cos\theta\sin\theta - \sin^2\theta$ .

Étape 2 —

Identifier la partie réelle avec

\cos(n\theta)

et la partie imaginaire avec

\sin(n\theta)

, puis simplifier à l'aide de

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

si nécessaire.

Partie réelle : $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ . Partie imaginaire : $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ .

$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ , $\quad\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$

Application guidée

Exprimer $\cos(3\theta)$ en termes de $\cos\theta$ .

Application autonome 1

Exprimer $\sin(3\theta)$ en termes de $\sin\theta$ .

Application autonome 2

Exprimer $\cos(4\theta)$ en termes de $\cos\theta$ .

Application autonome 3

Exprimer $\sin(4\theta)$ en termes de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ .

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En développant einθ=(eiθ)ne^{in\theta} = (e^{i\theta})^neinθ=(eiθ)n et en identifiant parties réelle et imaginaire pour exprimer cos⁡(nθ)\cos(n\theta)cos(nθ) et sin⁡(nθ)\sin(n\theta)sin(nθ) en termes de cos⁡θ\cos\thetacosθ et sin⁡θ\sin\thetasinθ

Pour comprendre, fais des exercices !

En développant $e^{in\theta} = (e^{i\theta})^n$ et en identifiant parties réelle et imaginaire pour exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en termes de $\cos\theta$ et $\sin\theta$