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Comment utiliser les formules d'Euler pour transformer des expressions trigonométriques ?

En linéarisant : exprimer cos⁡nθ\cos^n\theta ou sin⁡nθ\sin^n\theta à l'aide de cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} et sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

L'objectif

Exprimer cos⁡nθ\cos^n\theta ou sin⁡nθ\sin^n\theta comme combinaison linéaire de cos⁡(kθ)\cos(k\theta) ou sin⁡(kθ)\sin(k\theta) avec k≤nk \leq n.

Le principe

Les formules d'Euler cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} et sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} permettent de substituer puis de développer par le binôme de Newton.

La méthode
  1. 1
    Substituer cos⁡θ\cos\theta (ou sin⁡θ\sin\theta) par son expression en exponentielle complexe, puis élever à la puissance nn et développer par le binôme de Newton (nk)\displaystyle \binom{n}{k}.
  2. 2
    Regrouper les termes conjugués eikθ+e−ikθ=2cos⁡(kθ)e^{ik\theta} + e^{-ik\theta} = 2\cos(k\theta) (ou eikθ−e−ikθ=2isin⁡(kθ)e^{ik\theta} - e^{-ik\theta} = 2i\sin(k\theta)) pour obtenir la forme linéarisée.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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