Comment utiliser les formules d'Euler pour transformer des expressions trigonométriques ? | MetMat

Comment utiliser les formules d'Euler pour transformer des expressions trigonométriques ?

En linéarisant : exprimer $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ à l'aide de $\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$

Exprimer $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ comme combinaison linéaire de $\cos(k\theta)$ ou $\sin(k\theta)$ avec $k \leq n$ .

L'objectif

Exprimer $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ comme combinaison linéaire de $\cos(k\theta)$ ou $\sin(k\theta)$ avec $k \leq n$ .

Le principe

Les formules d'Euler $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$ permettent de substituer puis de développer par le binôme de Newton.

La méthode

1
Substituer $\cos\theta$ (ou $\sin\theta$ ) par son expression en exponentielle complexe, puis élever à la puissance $n$ et développer par le binôme de Newton $\displaystyle \binom{n}{k}$ .
2
Regrouper les termes conjugués $e^{ik\theta} + e^{-ik\theta} = 2\cos(k\theta)$ (ou $e^{ik\theta} - e^{-ik\theta} = 2i\sin(k\theta)$ ) pour obtenir la forme linéarisée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Linéariser $\cos^2\theta$ .

Étape 1 —

Substituer

\cos\theta

(ou

\sin\theta

) par son expression en exponentielle complexe, puis élever à la puissance

n

et développer par le binôme de Newton

\displaystyle \binom{n}{k}

$\cos^2\theta = \left(\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^2 = \dfrac{e^{2i\theta} + 2 + e^{-2i\theta}}{4}$ .

Étape 2 —

Regrouper les termes conjugués

e^{ik\theta} + e^{-ik\theta} = 2\cos(k\theta)

(ou

e^{ik\theta} - e^{-ik\theta} = 2i\sin(k\theta)

) pour obtenir la forme linéarisée.

$= \dfrac{2\cos(2\theta) + 2}{4} = \dfrac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ .

$\cos^2\theta = \dfrac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

Application guidée

Linéariser $\sin^2\theta$ .

Application autonome 1

Linéariser $\cos^3\theta$ .

Application autonome 2

Linéariser $\sin^3\theta$ .

Application autonome 3

Linéariser $\cos^4\theta$ .

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En linéarisant : exprimer cos⁡nθ\cos^n\thetacosnθ ou sin⁡nθ\sin^n\thetasinnθ à l'aide de cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}cosθ=2eiθ+e−iθ​ et sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}sinθ=2ieiθ−e−iθ​

Pour comprendre, fais des exercices !

En linéarisant : exprimer $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ à l'aide de $\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$