Comment multiplier ou diviser des nombres complexes en forme exponentielle ? | MetMat

Comment multiplier ou diviser des nombres complexes en forme exponentielle ?

En multipliant les modules et en ajoutant les arguments : $r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ , ou en divisant : $\frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}$

Calculer le produit ou le quotient de deux nombres complexes en forme exponentielle de façon rapide et exacte.

L'objectif

Calculer le produit ou le quotient de deux nombres complexes en forme exponentielle de façon rapide et exacte.

Le principe

La forme exponentielle transforme la multiplication en addition d'arguments et multiplication de modules : $r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2\, e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ .

La méthode

1
Écrire chaque facteur sous forme exponentielle $r_k e^{i\theta_k}$ (convertir si nécessaire depuis la forme algébrique).
Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ?Voir
2
Multiplier les modules entre eux et additionner (ou soustraire pour un quotient) les arguments, puis simplifier le résultat.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $(1+i)(\sqrt{3}+i)$ .

Étape 1 —

Écrire chaque facteur sous forme exponentielle

r_k e^{i\theta_k}

(convertir si nécessaire depuis la forme algébrique).

$1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ et $\sqrt{3}+i = 2e^{i\pi/6}$ .

Étape 2 —

Multiplier les modules entre eux et additionner (ou soustraire pour un quotient) les arguments, puis simplifier le résultat.

Produit : module $= \sqrt{2} \times 2 = 2\sqrt{2}$ , argument $= \pi/4 + \pi/6 = 5\pi/12$ . D'où $(1+i)(\sqrt{3}+i) = 2\sqrt{2}\,e^{i5\pi/12}$ .

$2\sqrt{2}\,e^{i5\pi/12}$

Application guidée

Calculer $\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{1+i}$ .

Application autonome 1

Calculer $\left(2e^{i\pi/5}\right)\left(3e^{i2\pi/5}\right)$ .

Application autonome 2

Calculer $\dfrac{4e^{i7\pi/12}}{2e^{i\pi/4}}$ .

Application autonome 3

Calculer $(\sqrt{3}-i)(1+i\sqrt{3})(-1+i)$ .

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