Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ? | MetMat

Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ?

En passant de la forme exponentielle $re^{i\theta}$ à la forme algébrique via $r\cos\theta + ir\sin\theta$

Obtenir la forme algébrique $x+iy$ d'un nombre complexe donné sous forme exponentielle $re^{i\theta}$ .

L'objectif

Obtenir la forme algébrique $x+iy$ d'un nombre complexe donné sous forme exponentielle $re^{i\theta}$ .

Le principe

La formule d'Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ permet d'écrire $re^{i\theta} = r\cos\theta + ir\sin\theta$ .

La méthode

1
Calculer $\cos\theta$ et $\sin\theta$ (valeurs exactes si $\theta$ est un angle remarquable).
2
Écrire la partie réelle $x = r\cos\theta$ et la partie imaginaire $y = r\sin\theta$ , puis conclure $z = x + iy$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Écrire $z = 3e^{i\pi/3}$ sous forme algébrique.

Étape 1 —

Calculer

\cos\theta

\sin\theta

(valeurs exactes si

\theta

est un angle remarquable).

$\cos(\pi/3) = 1/2$ et $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ .

Étape 2 —

Écrire la partie réelle

x = r\cos\theta

et la partie imaginaire

y = r\sin\theta

, puis conclure

z = x + iy

$z = 3 \times 1/2 + i \times 3 \times \sqrt{3}/2 = 3/2 + i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ .

$\dfrac{3}{2} + i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Application guidée

Écrire $z = 2e^{-i\pi/4}$ sous forme algébrique.

Application autonome 1

Écrire $z = 4e^{i5\pi/6}$ sous forme algébrique.

Application autonome 2

Écrire $z = \sqrt{2}\,e^{i3\pi/4}$ sous forme algébrique.

Application autonome 3

Écrire $z = 6 e^{i 7\pi/6}$ sous forme algébrique.

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