Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ? | MetMat

Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ?

En caractérisant un ensemble de points $M(z)$ par une équation sur l'affixe $z$ (module, argument, partie réelle/imaginaire)

Identifier géométriquement l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ satisfaisant une condition algébrique sur $z$ .

L'objectif

Identifier géométriquement l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ satisfaisant une condition algébrique sur $z$ .

Le principe

Une condition sur $z$ du type $|z-a| = r$ définit un cercle, $|z-a| = |z-b|$ une médiatrice, $\mathrm{Re}(z) = c$ ou $\mathrm{Im}(z) = c$ une droite, $\arg(z-a) = \theta$ une demi-droite.

La méthode

1
Poser $z = x+iy$ (avec $x,y \in \mathbb{R}$ ) et traduire la condition donnée en une équation cartésienne en $x$ et $y$ , ou reconnaître directement la forme géométrique à partir de la condition sur $z$ .
2
Identifier la nature de l'ensemble : cercle ( $|z-a|=r$ ), droite, demi-plan, demi-droite, etc., et préciser son centre, rayon ou toute caractéristique pertinente.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Décrire l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 2| = 3$ .

Étape 1 —

Poser

z = x+iy

(avec

x,y \in \mathbb{R}

) et traduire la condition donnée en une équation cartésienne en

x

y

, ou reconnaître directement la forme géométrique à partir de la condition sur

z

Poser $z = x+iy$ : $|z-2| = |(x-2)+iy| = \sqrt{(x-2)^2+y^2} = 3$ , soit $(x-2)^2+y^2 = 9$ .

Étape 2 —

Identifier la nature de l'ensemble : cercle (

|z-a|=r

), droite, demi-plan, demi-droite, etc., et préciser son centre, rayon ou toute caractéristique pertinente.

C'est l'équation d'un cercle de centre $A(2;0)$ (d'affixe $2$ ) et de rayon $3$ .

L'ensemble est le cercle de centre $A(2;0)$ et de rayon $3$ .

Application guidée

Décrire l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 1| = |z + 1|$ .

Application autonome 1

Décrire l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\mathrm{Im}\!\left(\frac{z-i}{z-1}\right) = 0$ avec $z \neq 1$ .

Application autonome 2

Décrire l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\arg(z-1) = \frac{\pi}{4}$ .

Application autonome 3

Décrire l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z-1|+|z+1| = 4$ .

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En caractérisant un ensemble de points M(z)M(z)M(z) par une équation sur l'affixe zzz (module, argument, partie réelle/imaginaire)

Pour comprendre, fais des exercices !

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