Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ? | MetMat

Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ?

En montrant la perpendicularité de $(AB)$ et $(AC)$ : vérifier que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}$ (partie réelle nulle)

Montrer que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires à partir des affixes $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ .

L'objectif

Montrer que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires à partir des affixes $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ .

Le principe

$(AB) \perp (AC)$ si et seulement si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un imaginaire pur (non nul), c'est-à-dire si son argument est $\pm\frac{\pi}{2}$ , ce qui équivaut à $\mathrm{Re}\!\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) = 0$ .

La méthode

1
Former le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ et le mettre sous forme algébrique $a + ib$ (multiplier par le conjugué du dénominateur).
2
Vérifier que $a = \mathrm{Re}\!\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) = 0$ : si c'est le cas, conclure que $(AB) \perp (AC)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $(AB) \perp (AC)$ avec $z_A = 1$ , $z_B = 1+2i$ , $z_C = 3$ .

Étape 1 —

Former le rapport

\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}

et le mettre sous forme algébrique

a + ib

(multiplier par le conjugué du dénominateur).

$\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \frac{2}{2i} = \frac{1}{i} = -i$ .

Étape 2 —

Vérifier que

a = \mathrm{Re}\!\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) = 0

: si c'est le cas, conclure que

(AB) \perp (AC)

$\mathrm{Re}(-i) = 0$ : le rapport est imaginaire pur, donc $(AB) \perp (AC)$ .

$(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

Application guidée

Montrer que le triangle d'affixes $z_A = 0$ , $z_B = 1$ , $z_C = i$ est rectangle en $A$ .

Application autonome 1

Montrer que $(AB) \perp (AC)$ avec $z_A = 1+i$ , $z_B = 3+2i$ , $z_C = -1+3i$ .

Application autonome 2

Montrer que les diagonales du carré d'affixes $0, 1, 1+i, i$ sont perpendiculaires.

Application autonome 3

Montrer que le triangle d'affixes $z_A = 2+i$ , $z_B = 5+2i$ , $z_C = 1+4i$ est rectangle en $A$ .

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En montrant la perpendicularité de (AB)(AB)(AB) et (AC)(AC)(AC) : vérifier que zC−zAzB−zA∈iR\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}zB​−zA​zC​−zA​​∈iR (partie réelle nulle)

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant la perpendicularité de $(AB)$ et $(AC)$ : vérifier que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}$ (partie réelle nulle)