Comment utiliser les nombres complexes pour étudier une configuration géométrique ?

En montrant la perpendicularité de $(AB)$ et $(AC)$ : vérifier que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}$ (partie réelle nulle)

L'objectif

Montrer que les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires à partir des affixes $z_A$ , $z_B$ , $z_C$ .

Le principe

$(AB) \perp (AC)$ si et seulement si $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ est un imaginaire pur (non nul), c'est-à-dire si son argument est $\pm\frac{\pi}{2}$ , ce qui équivaut à $\mathrm{Re}\!\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) = 0$ .

La méthode

1
Former le rapport $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ et le mettre sous forme algébrique $a + ib$ (multiplier par le conjugué du dénominateur).
2
Vérifier que $a = \mathrm{Re}\!\left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right) = 0$ : si c'est le cas, conclure que $(AB) \perp (AC)$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En montrant la perpendicularité de (AB)(AB)(AB) et (AC)(AC)(AC) : vérifier que zC−zAzB−zA∈iR\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}zB​−zA​zC​−zA​​∈iR (partie réelle nulle)

Exemple corrigé

En montrant la perpendicularité de $(AB)$ et $(AC)$ : vérifier que $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}$ (partie réelle nulle)