En représentant géométriquement les $n$ racines comme sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, avec $\omega_0 = 1$

Représenter les racines $n$ -ièmes de l'unité dans le plan complexe et exploiter la symétrie du polygone régulier associé.

L'objectif

Représenter les racines $n$ -ièmes de l'unité dans le plan complexe et exploiter la symétrie du polygone régulier associé.

Le principe

Les $n$ racines $n$ -ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité $\mathcal{C}(O,1)$ , le premier sommet étant le point d'affixe $1$ .

La méthode

1
Placer $\omega_0 = 1$ sur le cercle unité, puis placer chaque $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ en tournant d'un angle $\frac{2\pi}{n}$ à chaque fois dans le sens trigonométrique.
2
Vérifier que les $n$ points forment un polygone régulier à $n$ côtés : tous les côtés ont la même longueur $2\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$ et tous les angles au centre sont égaux à $\frac{2\pi}{n}$ .
3
Utiliser la symétrie du polygone pour lire des propriétés géométriques : par exemple, les racines conjuguées se correspondent par symétrie axiale par rapport à l'axe réel, et $\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Représenter les racines cubiques de l'unité et identifier le polygone formé.

Étape 1 —

Placer

\omega_0 = 1

sur le cercle unité, puis placer chaque

\omega_k = e^{2ik\pi/n}

en tournant d'un angle

\frac{2\pi}{n}

à chaque fois dans le sens trigonométrique.

Placer $\omega_0 = 1$ , puis $\omega_1 = e^{2i\pi/3}$ (angle $\frac{2\pi}{3}$ du premier) et $\omega_2 = e^{4i\pi/3}$ (angle $\frac{4\pi}{3}$ ) sur le cercle unité.

Étape 2 —

Vérifier que les

n

points forment un polygone régulier à

n

côtés : tous les côtés ont la même longueur

2\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)

et tous les angles au centre sont égaux à

\frac{2\pi}{n}

Les trois points sont équidistants sur le cercle ; chaque côté a longueur $2\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$ et les angles au centre valent $\frac{2\pi}{3}$ .

Étape 3 —

Utiliser la symétrie du polygone pour lire des propriétés géométriques : par exemple, les racines conjuguées se correspondent par symétrie axiale par rapport à l'axe réel, et

\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k = 0

Le triangle $\omega_0\omega_1\omega_2$ est équilatéral, et $1 + \omega_1 + \omega_2 = 0$ , ce qu'on vérifie : $1 + (-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$ .

Les trois racines forment un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité, et leur somme vaut $0$ .

Application guidée

Représenter les racines quatrièmes de l'unité et identifier le polygone formé.

Application autonome 1

Représenter les racines sixièmes de l'unité et identifier le polygone formé.

Application autonome 2

Montrer géométriquement que la somme de toutes les racines $n$ -ièmes de l'unité est nulle pour $n \geq 2$ .

Application autonome 3

Représenter les racines cinquièmes de l'unité et calculer la longueur du côté du polygone formé.

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En représentant géométriquement les nnn racines comme sommets d'un polygone régulier à nnn côtés inscrit dans le cercle unité, avec ω0=1\omega_0 = 1ω0​=1

Pour comprendre, fais des exercices !

En représentant géométriquement les $n$ racines comme sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, avec $\omega_0 = 1$