Comment déterminer les racines $n$-ièmes de l'unité ? | MetMat

Comment déterminer les racines $n$ -ièmes de l'unité ?

En résolvant $z^n = 1$ avec $z = e^{i\theta}$ : les $n$ racines sont $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ pour $k = 0, 1, \ldots, n-1$

Trouver toutes les solutions de $z^n = 1$ dans $\mathbb{C}$ .

L'objectif

Trouver toutes les solutions de $z^n = 1$ dans $\mathbb{C}$ .

Le principe

Tout complexe de module 1 s'écrit $e^{i\theta}$ , et $e^{i\theta n} = 1$ si et seulement si $n\theta$ est un multiple de $2\pi$ .

La méthode

1
Poser $z = e^{i\theta}$ (on cherche les solutions de module 1 car $|z^n|=|z|^n=1$ impose $|z|=1$ ) et substituer dans $z^n = 1$ pour obtenir $e^{in\theta} = 1$ .
2
Écrire la condition $e^{in\theta} = 1 \Leftrightarrow n\theta = 2k\pi$ pour $k \in \mathbb{Z}$ , soit $\theta = \frac{2k\pi}{n}$ .
3
Lister les $n$ valeurs distinctes : $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ pour $k = 0, 1, \ldots, n-1$ , et conclure que $\mathbb{U}_n = \{\omega_k \mid k = 0, \ldots, n-1\}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer les racines cubiques de l'unité ( $n=3$ ).

Étape 1 —

Poser

z = e^{i\theta}

(on cherche les solutions de module 1 car

|z^n|=|z|^n=1

impose

|z|=1

) et substituer dans

z^n = 1

pour obtenir

e^{in\theta} = 1

On cherche $z = e^{i\theta}$ tel que $e^{3i\theta} = 1$ .

Étape 2 —

Écrire la condition

e^{in\theta} = 1 \Leftrightarrow n\theta = 2k\pi

pour

k \in \mathbb{Z}

, soit

\theta = \frac{2k\pi}{n}

$3\theta = 2k\pi \Rightarrow \theta = \frac{2k\pi}{3}$ ; pour $k=0,1,2$ on obtient $\theta = 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ .

Étape 3 —

Lister les

n

valeurs distinctes :

\omega_k = e^{2ik\pi/n}

pour

k = 0, 1, \ldots, n-1

, et conclure que

\mathbb{U}_n = \{\omega_k \mid k = 0, \ldots, n-1\}

Les trois racines sont $\omega_0 = 1$ , $\omega_1 = e^{2i\pi/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\omega_2 = e^{4i\pi/3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\mathbb{U}_3 = \left\{1,\ -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$

Application guidée

Déterminer les racines quatrièmes de l'unité ( $n=4$ ).

Application autonome 1

Déterminer les racines sixièmes de l'unité ( $n=6$ ).

Application autonome 2

Résoudre $z^5 = 1$ dans $\mathbb{C}$ et exprimer les racines sous forme exponentielle.

Application autonome 3

Résoudre $z^8 = 1$ dans $\mathbb{C}$ et donner la liste des racines sous forme exponentielle.

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En résolvant zn=1z^n = 1zn=1 avec z=eiθz = e^{i\theta}z=eiθ : les nnn racines sont ωk=e2ikπ/n\omega_k = e^{2ik\pi/n}ωk​=e2ikπ/n pour k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n-1k=0,1,…,n−1

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant $z^n = 1$ avec $z = e^{i\theta}$ : les $n$ racines sont $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ pour $k = 0, 1, \ldots, n-1$