Comment déterminer les racines $n$ -ièmes de l'unité ?

En résolvant $z^n = 1$ avec $z = e^{i\theta}$ : les $n$ racines sont $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ pour $k = 0, 1, \ldots, n-1$

L'objectif

Trouver toutes les solutions de $z^n = 1$ dans $\mathbb{C}$ .

Le principe

Tout complexe de module 1 s'écrit $e^{i\theta}$ , et $e^{i\theta n} = 1$ si et seulement si $n\theta$ est un multiple de $2\pi$ .

La méthode

1
Poser $z = e^{i\theta}$ (on cherche les solutions de module 1 car $|z^n|=|z|^n=1$ impose $|z|=1$ ) et substituer dans $z^n = 1$ pour obtenir $e^{in\theta} = 1$ .
2
Écrire la condition $e^{in\theta} = 1 \Leftrightarrow n\theta = 2k\pi$ pour $k \in \mathbb{Z}$ , soit $\theta = \frac{2k\pi}{n}$ .
3
Lister les $n$ valeurs distinctes : $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ pour $k = 0, 1, \ldots, n-1$ , et conclure que $\mathbb{U}_n = \{\omega_k \mid k = 0, \ldots, n-1\}$ .

Difficulté croissante de 1 à 4

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.

En résolvant zn=1z^n = 1zn=1 avec z=eiθz = e^{i\theta}z=eiθ : les nnn racines sont ωk=e2ikπ/n\omega_k = e^{2ik\pi/n}ωk​=e2ikπ/n pour k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \ldots, n-1k=0,1,…,n−1