En utilisant $|z|^2 = z\bar{z}$

Calculer $|z|^2$ (et donc $|z|$ ) sans mettre $z$ sous forme algébrique, en exploitant $|z|^2 = z\bar{z}$ .

L'objectif

Calculer $|z|^2$ (et donc $|z|$ ) sans mettre $z$ sous forme algébrique, en exploitant $|z|^2 = z\bar{z}$ .

Le principe

Pour tout $z \in \mathbb{C}$ : $|z|^2 = z\bar{z}$ , ce qui est toujours un réel positif ou nul.

La méthode

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $|2 + i|$ en utilisant $|z|^2 = z\bar{z}$ .

Étape 1 —

Calculer

\bar{z}

(conjugué de

z

$\bar{z} = 2 - i$ .

Étape 2 —

Former le produit

z\bar{z}

et le développer pour obtenir un réel positif.

$z\bar{z} = (2+i)(2-i) = 4 - i^2 = 4 + 1 = 5$ .

Étape 3 —

Conclure :

|z| = \sqrt{z\bar{z}}

$|2 + i| = \sqrt{5}$ .

$\sqrt{5}$

Application guidée

Montrer que $\left|\dfrac{1+2i}{3-i}\right|^2 = \dfrac{1}{2}$ .

Application autonome 1

Calculer $|(1+i)(2-3i)|$ en utilisant $|z|^2 = z\bar{z}$ .

Application autonome 2

Calculer $|3 - 4i|$ en utilisant $|z|^2 = z\bar{z}$ .

Application autonome 3

Calculer $\left|\dfrac{(2+i)^2}{1-i}\right|$ en utilisant $|z|^2 = z\bar{z}$ .

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