Comment résoudre une équation faisant intervenir $z$ et $\bar{z}$ ? | MetMat

Comment résoudre une équation faisant intervenir $z$ et $\bar{z}$ ?

En posant $z = x + iy$ et en séparant parties réelle et imaginaire pour obtenir un système réel

Trouver tous les $z \in \mathbb{C}$ vérifiant une équation liant $z$ et $\bar{z}$ .

L'objectif

Trouver tous les $z \in \mathbb{C}$ vérifiant une équation liant $z$ et $\bar{z}$ .

Le principe

On pose $z = x + iy$ . Toute équation en $z$ et $\bar{z}$ se ramène alors à un système de deux équations réelles en $x$ et $y$ , par identification des parties réelle et imaginaire.

La méthode

1
Poser $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ , d'où $\bar{z} = x - iy$ .
2
Substituer dans l'équation et développer pour obtenir une expression de la forme $A + iB = 0$ (ou $= C + iD$ ).
3
Identifier les parties réelle et imaginaire : $A = 0$ et $B = 0$ (ou $A = C$ et $B = D$ ), ce qui donne un système $2 \times 2$ en $x$ et $y$ .
4
Résoudre le système et conclure en donnant $z = x + iy$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $z + \bar{z} = 4$ dans $\mathbb{C}$ .

Étape 1 —

Poser

z = x + iy

avec

x, y \in \mathbb{R}

, d'où

\bar{z} = x - iy

$z = x + iy$ , $\bar{z} = x - iy$ .

Étape 2 —

Substituer dans l'équation et développer pour obtenir une expression de la forme

A + iB = 0

(ou

= C + iD

$z + \bar{z} = (x + iy) + (x - iy) = 2x$ .

Étape 3 —

Identifier les parties réelle et imaginaire :

A = 0

B = 0

(ou

A = C

B = D

), ce qui donne un système

2 \times 2

x

y

Partie réelle : $2x = 4 \Rightarrow x = 2$ . Partie imaginaire : $0 = 0$ (toujours vrai).

Étape 4 —

Résoudre le système et conclure en donnant

z = x + iy

Les solutions sont tous les $z = 2 + iy$ avec $y \in \mathbb{R}$ , i.e. $\mathrm{Re}(z) = 2$ .

$z \in \{2 + iy \mid y \in \mathbb{R}\}$

Application guidée

Résoudre $z - \bar{z} = 2i$ dans $\mathbb{C}$ .

Application autonome 1

Résoudre $z + 2\bar{z} = 3 + 4i$ dans $\mathbb{C}$ .

Application autonome 2

Résoudre $iz + \bar{z} = 2 - i$ dans $\mathbb{C}$ .

Application autonome 3

Résoudre $(1 + i)z + (1 - i)\bar{z} = 4$ dans $\mathbb{C}$ .

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En posant z=x+iyz = x + iyz=x+iy et en séparant parties réelle et imaginaire pour obtenir un système réel

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En posant $z = x + iy$ et en séparant parties réelle et imaginaire pour obtenir un système réel