Comment résoudre une équation faisant intervenir $z$ et $\bar{z}$ ?

En posant $z = x + iy$ et en séparant parties réelle et imaginaire pour obtenir un système réel

L'objectif

Trouver tous les $z \in \mathbb{C}$ vérifiant une équation liant $z$ et $\bar{z}$ .

Le principe

En posant $z = x + iy$ , toute équation en $z$ et $\bar{z}$ se ramène à un système de deux équations réelles en $x$ et $y$ (identification des parties réelle et imaginaire).

La méthode

1
Poser $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ , d'où $\bar{z} = x - iy$ .
2
Substituer dans l'équation et développer pour obtenir une expression de la forme $A + iB = 0$ (ou $= C + iD$ ).
3
Identifier les parties réelle et imaginaire : $A = 0$ et $B = 0$ (ou $A = C$ et $B = D$ ), ce qui donne un système $2 \times 2$ en $x$ et $y$ .
4
Résoudre le système et conclure en donnant $z = x + iy$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En posant z=x+iyz = x + iyz=x+iy et en séparant parties réelle et imaginaire pour obtenir un système réel

Exemple corrigé

En posant $z = x + iy$ et en séparant parties réelle et imaginaire pour obtenir un système réel