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Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?

En appliquant la formule du binôme de Newton dans C\mathbb{C}

L'objectif

Développer (a+ib)n(a + ib)^n ou (z1+z2)n(z_1 + z_2)^n efficacement en utilisant les coefficients binomiaux.

Le principe

La formule du binôme de Newton (a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k est valide dans C\mathbb{C} ; les puissances de ii sont cycliques de période 4.

La méthode
  1. 1
    Identifier aa et bb dans le binôme (a+b)n(a + b)^n avec a,b∈Ca, b \in \mathbb{C}.
  2. 2
    Appliquer (a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k en calculant les coefficients (nk)\binom{n}{k}.
  3. 3
    Simplifier chaque puissance de ii : i0=1i^0=1, i1=ii^1=i, i2=−1i^2=-1, i3=−ii^3=-i, i4=1i^4=1, puis le cycle recommence.
  4. 4
    Regrouper les termes réels et imaginaires pour obtenir la forme algébrique a+iba + ib.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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