Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ? | MetMat

Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?

En appliquant la formule du binôme de Newton dans $\mathbb{C}$

Développer $(a + ib)^n$ ou $(z_1 + z_2)^n$ efficacement en utilisant les coefficients binomiaux.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Développer $(1 + i)^3$ par la formule du binôme.

L'objectif

Développer $(a + ib)^n$ ou $(z_1 + z_2)^n$ efficacement en utilisant les coefficients binomiaux.

Le principe

La formule du binôme de Newton $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ est valide dans $\mathbb{C}$ ; les puissances de $i$ sont cycliques de période 4.

La méthode

1
Identifier $a$ et $b$ dans le binôme $(a + b)^n$ avec $a, b \in \mathbb{C}$ .
2
Appliquer $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ en calculant les coefficients $\binom{n}{k}$ .
3
Simplifier chaque puissance de $i$ : $i^0=1$ , $i^1=i$ , $i^2=-1$ , $i^3=-i$ , $i^4=1$ , puis le cycle recommence.
4
Regrouper les termes réels et imaginaires pour obtenir la forme algébrique $a + ib$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Développer $(1 + i)^3$ par la formule du binôme.

Étape 1 —

Identifier

a

b

dans le binôme

(a + b)^n

avec

a, b \in \mathbb{C}

$a = 1$ , $b = i$ , $n = 3$ .

Étape 2 —

Appliquer

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

en calculant les coefficients

\binom{n}{k}

$(1+i)^3 = \binom{3}{0}i^0 + \binom{3}{1}i^1 + \binom{3}{2}i^2 + \binom{3}{3}i^3 = 1 + 3i + 3i^2 + i^3$ .

Étape 3 —

Simplifier chaque puissance de

i

i^0=1

i^1=i

i^2=-1

i^3=-i

i^4=1

, puis le cycle recommence.

$i^2 = -1$ et $i^3 = -i$ , donc $1 + 3i + 3(-1) + (-i) = 1 + 3i - 3 - i$ .

Étape 4 —

Regrouper les termes réels et imaginaires pour obtenir la forme algébrique

a + ib

On regroupe : $-2 + 2i$ .

$-2 + 2i$

Application guidée

Développer $(1 - i)^4$ par la formule du binôme.

Application autonome 1

Développer $(\sqrt{3} + i)^6$ .

Application autonome 2

Développer $(2 + i)^4$ .

Application autonome 3

Développer $(1 + i)^5$ par la formule du binôme.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant la formule du binôme de Newton dans C\mathbb{C}C

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant la formule du binôme de Newton dans $\mathbb{C}$