Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ? | MetMat

Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?

En calculant l'inverse via $z^{-1} = \bar{z}/|z|^2$

Obtenir l'inverse d'un nombre complexe sous forme algébrique $a + ib$ .

L'objectif

Obtenir l'inverse d'un nombre complexe sous forme algébrique $a + ib$ .

Le principe

Pour $z \neq 0$ : $z^{-1} = \dfrac{\bar{z}}{|z|^2} = \dfrac{\bar{z}}{z\bar{z}}$ , ce qui revient à multiplier par le conjugué pour rendre le dénominateur réel.

La méthode

1
Écrire $z = a + ib$ et calculer son conjugué $\bar{z} = a - ib$ .
2
Calculer $|z|^2 = a^2 + b^2$ (toujours réel et strictement positif si $z \neq 0$ ).
Comment déterminer le module d'un nombre complexe ?Voir
3
Conclure : $z^{-1} = \dfrac{\bar{z}}{|z|^2} = \dfrac{a}{a^2+b^2} - \dfrac{b}{a^2+b^2}\,i$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Calculer $\dfrac{1}{3 + 4i}$ .

Étape 1 —

Écrire

z = a + ib

et calculer son conjugué

\bar{z} = a - ib

$z = 3 + 4i$ , donc $\bar{z} = 3 - 4i$ .

Étape 2 —

Calculer

|z|^2 = a^2 + b^2

(toujours réel et strictement positif si

z \neq 0

$|z|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ .

Étape 3 —

Conclure :

z^{-1} = \dfrac{\bar{z}}{|z|^2} = \dfrac{a}{a^2+b^2} - \dfrac{b}{a^2+b^2}\,i

$z^{-1} = \dfrac{3 - 4i}{25} = \dfrac{3}{25} - \dfrac{4}{25}\,i$ .

$\dfrac{3}{25} - \dfrac{4}{25}\,i$

Application guidée

Calculer $\dfrac{1}{1 - i}$ .

Application autonome 1

Calculer $\dfrac{2 + 3i}{1 + 2i}$ .

Application autonome 2

Calculer $\dfrac{1 + i}{2 - i}$ .

Application autonome 3

Mettre $\dfrac{4 - i}{2 + 3i}$ sous forme algébrique.

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En calculant l'inverse via z−1=zˉ/∣z∣2z^{-1} = \bar{z}/|z|^2z−1=zˉ/∣z∣2

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En calculant l'inverse via $z^{-1} = \bar{z}/|z|^2$