Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ? | MetMat

Comment effectuer des opérations algébriques sur des nombres complexes ?

En développant et simplifiant avec $i^2 = -1$

Calculer le résultat d'une opération sur des nombres complexes sous forme algébrique $a + ib$ .

L'objectif

Calculer le résultat d'une opération sur des nombres complexes sous forme algébrique $a + ib$ .

Le principe

Dans $\mathbb{C}$ , $i^2 = -1$ ; on développe comme dans $\mathbb{R}[X]$ puis on regroupe les parties réelle et imaginaire.

La méthode

1
Écrire chaque nombre complexe sous forme algébrique $a + ib$ ( $a, b \in \mathbb{R}$ ).
2
Développer l'expression en appliquant les règles usuelles de calcul (distributivité, produits remarquables, etc.).
3
Remplacer chaque occurrence de $i^2$ par $-1$ (et $i^3 = -i$ , $i^4 = 1$ si nécessaire).
4
Regrouper les termes réels et les termes imaginaires pour écrire le résultat sous la forme $a + ib$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Calculer $(2 + 3i)(1 - i)$ .

Étape 1 —

Écrire chaque nombre complexe sous forme algébrique

a + ib

(

a, b \in \mathbb{R}

Les deux facteurs sont déjà sous forme algébrique.

Étape 2 —

Développer l'expression en appliquant les règles usuelles de calcul (distributivité, produits remarquables, etc.).

$(2 + 3i)(1 - i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot(-i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2$ .

Étape 3 —

Remplacer chaque occurrence de

i^2

par

-1

(et

i^3 = -i

i^4 = 1

si nécessaire).

On remplace $i^2 = -1$ : $2 - 2i + 3i - 3(-1) = 2 - 2i + 3i + 3$ .

Étape 4 —

Regrouper les termes réels et les termes imaginaires pour écrire le résultat sous la forme

a + ib

On regroupe : $(2 + 3) + (-2 + 3)i = 5 + i$ .

$5 + i$

Application guidée

Calculer $(1 + i)^2$ .

Application autonome 1

Calculer $(3 - 2i)^2 - (1 + i)^2$ .

Application autonome 2

Calculer $(1 + i)^4$ .

Application autonome 3

Calculer $(2 + i)^3$ .

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