En appliquant le théorème de Gauss pour simplifier une divisibilité composée (ex. : si $p$ premier et $p \mid ab$ , alors $p \mid a$ ou $p \mid b$ )

Déduire qu'un nombre premier $p$ divise l'un des facteurs d'un produit qu'il divise.

L'objectif

Déduire qu'un nombre premier $p$ divise l'un des facteurs d'un produit qu'il divise.

Le principe

Si $p$ est premier et $p \mid ab$ , alors $p \mid a$ ou $p \mid b$ (corollaire immédiat du théorème de Gauss).

La méthode

1
Vérifier que $p$ est premier et qu'on dispose de $p \mid ab$ .
2
Si $p \nmid a$ , alors $\mathrm{pgcd}(p,a)=1$ (car $p$ est premier), donc par Gauss $p \mid b$ .
3
Conclure : $p \mid a$ ou $p \mid b$ (disjonction).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Exemple 1 — $p=7$ , $ab=35$

Étape 1 —

Vérifier que

p

est premier et qu'on dispose de

p \mid ab

$p=7$ est premier et $7 \mid 35 = 5 \times 7$ , donc $7 \mid 5 \times 7$ .

Étape 2 —

p \nmid a

, alors

\mathrm{pgcd}(p,a)=1

(car

p

est premier), donc par Gauss

p \mid b

$7 \nmid 5$ , donc $\mathrm{pgcd}(7,5)=1$ , d'où par Gauss $7 \mid 7$ .

Étape 3 —

Conclure :

p \mid a

p \mid b

(disjonction).

Conclusion : $7 \mid 7$ , ce qui est vrai. Ici $p$ divise le second facteur.

Application guidée

Exemple 2 — $p=11$ , $11 \mid 33n$

Application autonome 1

Exemple 3 — $p=5$ , montrer $5 \mid n$ ou $5 \mid m$ sachant $5 \mid nm$

Application autonome 2

Exemple 4 — $p=2$ , $2 \mid (2k+1)(2l+1)$ est impossible

Application autonome 3

Exemple 5 — $p=17$ , $17 \mid a^2$ implique $17 \mid a$

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