En appliquant le petit théorème de Fermat si $n$ est premier : $a^{-1} \equiv a^{n-2} \pmod{n}$

Calculer $a^{-1} \pmod{n}$ lorsque $n$ est un nombre premier et $a \not\equiv 0 \pmod{n}$ .

L'objectif

Calculer $a^{-1} \pmod{n}$ lorsque $n$ est un nombre premier et $a \not\equiv 0 \pmod{n}$ .

Le principe

Le petit théorème de Fermat affirme que si $p$ est premier et $p \nmid a$ , alors $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ , d'où $a \cdot a^{p-2} \equiv 1 \pmod{p}$ .

La méthode

1
Vérifier que $n = p$ est premier et que $p \nmid a$ .
2
Calculer $a^{p-2} \pmod{p}$ par exponentiation rapide (décomposer l'exposant en base $2$ ).
Comment appliquer le petit théorème de Fermat ?Voir
3
L'inverse de $a$ modulo $p$ est $a^{p-2} \bmod p$ . Vérifier en calculant $a \cdot a^{p-2} \pmod p$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Inverse de $3$ modulo $7$ (premier)

Étape 1 —

Vérifier que

n = p

est premier et que

p \nmid a

$7$ est premier et $7 \nmid 3$ , donc le petit théorème de Fermat s'applique.

Étape 2 —

Calculer

a^{p-2} \pmod{p}

par exponentiation rapide (décomposer l'exposant en base

2

$3^{7-2} = 3^5 = 243$ . Calculons : $3^2 = 9 \equiv 2$ , $3^4 \equiv 4$ , $3^5 \equiv 12 \equiv 5 \pmod{7}$ .

Étape 3 —

L'inverse de

a

modulo

p

est

a^{p-2} \bmod p

. Vérifier en calculant

a \cdot a^{p-2} \pmod p

$3^{-1} \equiv 5 \pmod{7}$ . Vérification : $3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7}$ . ✓

Application guidée

Inverse de $4$ modulo $11$ (premier)

Application autonome 1

Inverse de $6$ modulo $13$ (premier)

Application autonome 2

Inverse de $2$ modulo $17$ (premier)

Application autonome 3

Inverse de $5$ modulo $23$ (premier).

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant le petit théorème de Fermat si nnn est premier : a−1≡an−2(modn)a^{-1} \equiv a^{n-2} \pmod{n}a−1≡an−2(modn)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant le petit théorème de Fermat si $n$ est premier : $a^{-1} \equiv a^{n-2} \pmod{n}$