En écrivant $a = bq + r$ avec $0 \leq r < b$ : calculer $q = \lfloor a/b \rfloor$ et $r = a - bq$

Exprimer $a$ sous la forme $a = bq + r$ avec $0 \leq r < b$ .

L'objectif

Exprimer $a$ sous la forme $a = bq + r$ avec $0 \leq r < b$ .

Le principe

Le théorème de la division euclidienne garantit l'existence et l'unicité de $q$ et $r$ ; on les obtient par $q = \lfloor a/b \rfloor$ et $r = a - bq$ .

La méthode

1
Calculer le quotient entier $q = \lfloor a/b \rfloor$ (partie entière de $a/b$ ).
2
Calculer le reste $r = a - bq$ et vérifier que $0 \leq r < b$ .
3
Écrire la relation $a = bq + r$ et conclure.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Division euclidienne de $17$ par $5$

Étape 1 —

Calculer le quotient entier

q = \lfloor a/b \rfloor

(partie entière de

a/b

$q = \lfloor 17/5 \rfloor = 3$ .

Étape 2 —

Calculer le reste

r = a - bq

et vérifier que

0 \leq r < b

$r = 17 - 5 \times 3 = 2$ ; on vérifie $0 \leq 2 < 5$ .

Étape 3 —

Écrire la relation

a = bq + r

et conclure.

$17 = 5 \times 3 + 2$ .

Application guidée

Division euclidienne de $100$ par $7$

Application autonome 1

Division euclidienne de $-13$ par $4$ (dans $\mathbb{Z}$ , reste positif)

Application autonome 2

Division euclidienne de $256$ par $16$

Application autonome 3

Division euclidienne de $2\,025$ par $12$ .

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En écrivant a=bq+ra = bq + ra=bq+r avec 0≤r<b0 \leq r < b0≤r<b : calculer q=⌊a/b⌋q = \lfloor a/b \rfloorq=⌊a/b⌋ et r=a−bqr = a - bqr=a−bq

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant $a = bq + r$ avec $0 \leq r < b$ : calculer $q = \lfloor a/b \rfloor$ et $r = a - bq$