Comment déterminer les diviseurs d'un entier et établir des critères de divisibilité ? | MetMat

Comment déterminer les diviseurs d'un entier et établir des critères de divisibilité ?

En établissant un critère de divisibilité via les congruences (ex. : $n \equiv 0 \pmod{3}$ ssi la somme des chiffres de $n$ est divisible par $3$ )

Vérifier rapidement si un entier est divisible par un petit diviseur sans effectuer la division.

L'objectif

Vérifier rapidement si un entier est divisible par un petit diviseur sans effectuer la division.

Le principe

On écrit $n$ en base $10$ et on exploite $10 \equiv 1 \pmod{3}$ (ou $10 \equiv -1 \pmod{11}$ , etc.) pour ramener la congruence à une somme de chiffres.

La méthode

1
Écrire $n = a_k \cdot 10^k + \cdots + a_1 \cdot 10 + a_0$ en décomposition décimale.
2
Utiliser la congruence de la base : par exemple $10 \equiv 1 \pmod{9}$ donc $10^k \equiv 1 \pmod{9}$ , et ainsi $n \equiv a_k + \cdots + a_1 + a_0 \pmod{9}$ .
3
Conclure : $d \mid n$ ssi la quantité obtenue (somme des chiffres, somme alternée…) est congrue à $0$ modulo $d$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Divisibilité de $123$ par $3$

Étape 1 —

Écrire

n = a_k \cdot 10^k + \cdots + a_1 \cdot 10 + a_0

en décomposition décimale.

$123 = 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 + 3$ .

Étape 2 —

Utiliser la congruence de la base : par exemple

10 \equiv 1 \pmod{9}

donc

10^k \equiv 1 \pmod{9}

, et ainsi

n \equiv a_k + \cdots + a_1 + a_0 \pmod{9}

$10 \equiv 1 \pmod{3}$ donc $123 \equiv 1 + 2 + 3 = 6 \pmod{3}$ .

Étape 3 —

Conclure :

d \mid n

ssi la quantité obtenue (somme des chiffres, somme alternée…) est congrue à

0

modulo

d

$6 \equiv 0 \pmod{3}$ , donc $3 \mid 123$ .

Application guidée

Divisibilité de $4527$ par $9$

Application autonome 1

Divisibilité de $3729$ par $11$

Application autonome 2

Divisibilité de $1234$ par $11$

Application autonome 3

Divisibilité de $2\,024$ par $4$ (critère : les deux derniers chiffres).

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En établissant un critère de divisibilité via les congruences (ex. : n≡0(mod3)n \equiv 0 \pmod{3}n≡0(mod3) ssi la somme des chiffres de nnn est divisible par 333)

Pour comprendre, fais des exercices !

En établissant un critère de divisibilité via les congruences (ex. : $n \equiv 0 \pmod{3}$ ssi la somme des chiffres de $n$ est divisible par $3$ )