Comment déterminer les diviseurs d'un entier et établir des critères de divisibilité ?

En établissant un critère de divisibilité via les congruences (ex. : $n \equiv 0 \pmod{3}$ ssi la somme des chiffres de $n$ est divisible par $3$ )

L'objectif

Vérifier rapidement si un entier est divisible par un petit diviseur sans effectuer la division.

Le principe

On écrit $n$ en base $10$ et on exploite $10 \equiv 1 \pmod{3}$ (ou $10 \equiv -1 \pmod{11}$ , etc.) pour ramener la congruence à une somme de chiffres.

La méthode

1
Écrire $n = a_k \cdot 10^k + \cdots + a_1 \cdot 10 + a_0$ en décomposition décimale.
2
Utiliser la congruence de la base : par exemple $10 \equiv 1 \pmod{9}$ donc $10^k \equiv 1 \pmod{9}$ , et ainsi $n \equiv a_k + \cdots + a_1 + a_0 \pmod{9}$ .
3
Conclure : $d \mid n$ ssi la quantité obtenue (somme des chiffres, somme alternée…) est congrue à $0$ modulo $d$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.

En établissant un critère de divisibilité via les congruences (ex. : n≡0(mod3)n \equiv 0 \pmod{3}n≡0(mod3) ssi la somme des chiffres de nnn est divisible par 333)

Exemple corrigé

En établissant un critère de divisibilité via les congruences (ex. : $n \equiv 0 \pmod{3}$ ssi la somme des chiffres de $n$ est divisible par $3$ )