Comment déterminer les diviseurs d'un entier et établir des critères de divisibilité ? | MetMat

Comment déterminer les diviseurs d'un entier et établir des critères de divisibilité ?

En établissant un critère de divisibilité via les congruences (ex. : $n \equiv 0 \pmod{3}$ ssi la somme des chiffres de $n$ est divisible par $3$ )

Vérifier rapidement si un entier est divisible par un petit diviseur sans effectuer la division.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Divisibilité de $123$ par $3$

L'objectif

Vérifier rapidement si un entier est divisible par un petit diviseur sans effectuer la division.

Le principe

On écrit $n$ en base $10$ et on exploite $10 \equiv 1 \pmod{3}$ (ou $10 \equiv -1 \pmod{11}$ , etc.) pour ramener la congruence à une somme de chiffres.

La méthode

1
Écrire $n = a_k \cdot 10^k + \cdots + a_1 \cdot 10 + a_0$ en décomposition décimale.
2
Utiliser la congruence de la base : par exemple $10 \equiv 1 \pmod{9}$ donc $10^k \equiv 1 \pmod{9}$ , et ainsi $n \equiv a_k + \cdots + a_1 + a_0 \pmod{9}$ .
3
Conclure : $d \mid n$ ssi la quantité obtenue (somme des chiffres, somme alternée…) est congrue à $0$ modulo $d$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Divisibilité de $123$ par $3$

Étape 1 —

Écrire

n = a_k \cdot 10^k + \cdots + a_1 \cdot 10 + a_0

en décomposition décimale.

$123 = 1 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 + 3$ .

Étape 2 —

Utiliser la congruence de la base : par exemple

10 \equiv 1 \pmod{9}

donc

10^k \equiv 1 \pmod{9}

, et ainsi

n \equiv a_k + \cdots + a_1 + a_0 \pmod{9}

$10 \equiv 1 \pmod{3}$ donc $123 \equiv 1 + 2 + 3 = 6 \pmod{3}$ .

Étape 3 —

Conclure :

d \mid n

ssi la quantité obtenue (somme des chiffres, somme alternée…) est congrue à

0

modulo

d

$6 \equiv 0 \pmod{3}$ , donc $3 \mid 123$ .

Application guidée

Divisibilité de $4527$ par $9$

Application autonome 1

Divisibilité de $3729$ par $11$

Application autonome 2

Divisibilité de $1234$ par $11$

Application autonome 3

Divisibilité de $2\,024$ par $4$ (critère : les deux derniers chiffres).

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En établissant un critère de divisibilité via les congruences (ex. : n≡0(mod3)n \equiv 0 \pmod{3}n≡0(mod3) ssi la somme des chiffres de nnn est divisible par 333)

Pour comprendre, fais des exercices !

En établissant un critère de divisibilité via les congruences (ex. : $n \equiv 0 \pmod{3}$ ssi la somme des chiffres de $n$ est divisible par $3$ )