Comment représenter graphiquement une suite récurrente et conjecturer sa limite ? | MetMat

Comment représenter graphiquement une suite récurrente et conjecturer sa limite ?

Construire la toile d'araignée pour conjecturer la limite

Visualiser graphiquement le comportement d'une suite récurrente et conjecturer sa limite à partir de la toile d'araignée.

L'objectif

Visualiser graphiquement le comportement d'une suite récurrente et conjecturer sa limite à partir de la toile d'araignée.

Le principe

Les intersections de la courbe $y = f(x)$ avec la droite $y = x$ sont les points fixes (limites potentielles) ; la toile d'araignée montre si la suite converge vers l'un d'eux.

La méthode

1
Tracer dans un repère la droite $y = x$ et la courbe représentative de $y = f(x)$ . Repérer les points d'intersection, qui sont les solutions de $f(x) = x$ (points fixes, limites potentielles).
2
Partir du point $(u_0, 0)$ . Monter verticalement jusqu'à la courbe pour atteindre $(u_0, f(u_0)) = (u_0, u_1)$ , puis se déplacer horizontalement jusqu'à la droite $y = x$ pour obtenir $(u_1, u_1)$ .
3
Répéter l'opération en montant à la courbe puis revenant à la diagonale. Observer si la suite semble converger vers un point fixe (toile se resserre) ou diverger (toile s'éloigne), et conjecturer la limite.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 2$ . Décrire la construction de la toile d'araignée et conjecturer la limite.

Étape 1 —

Tracer dans un repère la droite

y = x

et la courbe représentative de

y = f(x)

. Repérer les points d'intersection, qui sont les solutions de

f(x) = x

(points fixes, limites potentielles).

On trace $y = x$ et $y = \frac{1}{2}x + 2$ . L'intersection est $x = \frac{1}{2}x + 2 \Rightarrow x = 4$ . Le point fixe est $\ell = 4$ .

Étape 2 —

Partir du point

(u_0, 0)

. Monter verticalement jusqu'à la courbe pour atteindre

(u_0, f(u_0)) = (u_0, u_1)

, puis se déplacer horizontalement jusqu'à la droite

y = x

pour obtenir

(u_1, u_1)

On part de $u_0 = 0$ : on monte à la courbe en $(0, 2)$ , puis on va à la diagonale en $(2, 2)$ pour obtenir $u_1 = 2$ . On monte à la courbe en $(2, 3)$ , puis à la diagonale en $(3, 3)$ pour $u_2 = 3$ .

Étape 3 —

Répéter l'opération en montant à la courbe puis revenant à la diagonale. Observer si la suite semble converger vers un point fixe (toile se resserre) ou diverger (toile s'éloigne), et conjecturer la limite.

La toile se resserre vers le point $(4, 4)$ . On conjecture que $\lim u_n = 4$ .

La suite semble converger vers $\ell = 4$ .

Application guidée

Soit $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n}$ . Décrire la toile d'araignée et conjecturer la limite.

Application autonome 1

Soit $u_0 = 0{,}5$ et $u_{n+1} = 2u_n(1 - u_n)$ . Décrire la toile d'araignée.

Application autonome 2

Soit $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \frac{u_n^2 + 2}{2u_n}$ (algorithme de Héron pour $\sqrt{2}$ ). Décrire la toile d'araignée.

Application autonome 3

Soit $u_0 = 8$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 2}{3}$ . Décrire la construction de la toile d'araignée et conjecturer la limite.

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