Déterminer un seuil par résolution analytique avec le logarithme

L'objectif

Trouver le rang $n$ à partir duquel une suite géométrique franchit un seuil, en utilisant les logarithmes.

Le principe

On applique $\ln$ à l'inéquation pour linéariser l'exposant : $\ln(q^n) = n \ln q$ , en faisant attention au sens de l'inégalité selon le signe de $\ln q$ .

La méthode

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Écrire l'inéquation à résoudre sous la forme $u_0 q^n \geq S$ (ou $\leq S$ ) et isoler $q^n$ .
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Appliquer le logarithme : $n \ln q \geq \ln\left(\dfrac{S}{u_0}\right)$ . Attention : si $\ln q < 0$ (i.e. $0 < q < 1$ ), l'inégalité se renverse lorsqu'on divise par $\ln q$ .
Comment utiliser $\ln(q^n)=n\ln q$ pour déterminer un seuil ?Voir
3
Conclure en prenant le plus petit entier $n$ vérifiant l'inégalité (partie entière + 1 si nécessaire), et vérifier.

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Application guidée 1

À partir de quel rang la suite $u_n = 3 \times 2^n$ dépasse-t-elle 1000 ?

Application guidée 2

À partir de quel rang la suite $u_n = 1000 \times 0{,}9^n$ passe-t-elle en dessous de 100 ?

Application autonome 1

Un capital de 500 € est placé à 4 % par an. À partir de quelle année le capital dépasse-t-il 800 € ?

Application autonome 2

Une population de $u_0 = 10\,000$ individus diminue de 15 % par an. À partir de quelle année sera-t-elle inférieure à 1000 ?

Application autonome 3

À partir de quel rang $n$ a-t-on $\left(\frac{2}{3}\right)^n \leq 10^{-4}$ ?

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