Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?

Calculer la somme infinie d'une série géométrique convergente

L'objectif

Calculer la valeur exacte vers laquelle converge la somme de tous les termes d'une suite géométrique quand $|q| < 1$ .

Le principe

Lorsque $|q| < 1$ , la somme infinie $\sum_{k=0}^{+\infty} u_0 q^k$ converge et vaut $\dfrac{u_0}{1-q}$ , car $q^n \to 0$ .

La méthode

1
Vérifier que $|q| < 1$ (condition nécessaire pour que la somme infinie existe).
2
Écrire la somme partielle $S_n = u_0 \dfrac{1-q^n}{1-q}$ et passer à la limite : comme $q^n \to 0$ , on obtient $S = \dfrac{u_0}{1-q}$ .
3
Calculer la valeur numérique et interpréter le résultat dans le contexte du problème.

Difficulté croissante de 1 à 4

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