Calculer la somme de $n$ termes d'une suite géométrique

Calculer la somme $u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1}$ d'une suite géométrique en appliquant la formule adéquate.

L'objectif

Calculer la somme $u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1}$ d'une suite géométrique en appliquant la formule adéquate.

Le principe

Pour une suite géométrique de raison $q \neq 1$ , la somme des $n$ premiers termes est $S_n = u_0 \dfrac{1-q^n}{1-q}$ .

La méthode

1
Identifier le premier terme $u_0$ , la raison $q$ et le nombre de termes $n$ à additionner.
2
Vérifier que $q \neq 1$ (sinon $S_n = n \, u_0$ ), puis appliquer $S_n = u_0 \dfrac{1-q^n}{1-q}$ .
3
Calculer la valeur numérique en simplifiant l'expression, et interpréter le résultat dans le contexte.

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Exercice d'exemple

Calculer $S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32$ (somme des 6 premiers termes de la suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1).

Étape 1 —

Identifier le premier terme

u_0

, la raison

q

et le nombre de termes

n

à additionner.

On a $u_0 = 1$ , $q = 2$ et $n = 6$ termes.

Étape 2 —

Vérifier que

q \neq 1

(sinon

S_n = n \, u_0

), puis appliquer

S_n = u_0 \dfrac{1-q^n}{1-q}

$q = 2 \neq 1$ , donc $S_6 = 1 \times \dfrac{1-2^6}{1-2} = \dfrac{1-64}{-1} = 63$ .

Étape 3 —

Calculer la valeur numérique en simplifiant l'expression, et interpréter le résultat dans le contexte.

On vérifie : $1+2+4+8+16+32 = 63$ ✓.

$S = 63$ .

Application guidée

Un placement rapporte 5 % par an. On place 1000 \text{€} la première année, puis 1000 \text{€} supplémentaires chaque année pendant 5 ans. Calculer le capital total après 5 ans (sans tenir compte des intérêts composés entre versements, en supposant que chaque versement est capitalisé depuis le moment du versement).

Application autonome 1

Calculer $S = \sum_{k=0}^{9} 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^k$ .

Application autonome 2

Une épidémie se propage : le premier jour 10 personnes sont infectées, puis chaque jour le nombre de nouvelles contaminations est multiplié par 1,5. Combien de personnes au total ont été infectées après 7 jours ?

Application autonome 3

Calculer $S = \sum_{k=0}^{7} \left(\dfrac{1}{3}\right)^k$ .

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