Comment calculer les termes successifs d'une suite définie par récurrence ? | MetMat

Comment calculer les termes successifs d'une suite définie par récurrence ?

Calculer les termes par algorithme (boucle)

Calculer efficacement un terme de rang élevé d'une suite récurrente grâce à un algorithme à boucle.

L'objectif

Calculer efficacement un terme de rang élevé d'une suite récurrente grâce à un algorithme à boucle.

Le principe

Une boucle répète l'application de la relation de récurrence autant de fois que nécessaire pour atteindre le rang voulu.

La méthode

1
Initialiser une variable $u$ avec la valeur de $u_0$ (ou $u_1$ ) et un compteur $n = 0$ .
2
Écrire la boucle : tant que $n < N$ , effectuer $u \leftarrow f(u)$ et incrémenter $n$ de 1.
3
À la fin de la boucle, la variable $u$ contient la valeur $u_N$ . Lire et interpréter le résultat.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$ . Décrire l'algorithme permettant de calculer $u_{10}$ .

Étape 1 —

Initialiser une variable

u

avec la valeur de

u_0

(ou

u_1

) et un compteur

n = 0

On initialise : $u \leftarrow 5$ , $n \leftarrow 0$ .

Étape 2 —

Écrire la boucle : tant que

n < N

, effectuer

u \leftarrow f(u)

et incrémenter

n

de 1.

Boucle : tant que $n < 10$ , faire $u \leftarrow 2u + 3$ et $n \leftarrow n + 1$ .

Étape 3 —

À la fin de la boucle, la variable

u

contient la valeur

u_N

. Lire et interpréter le résultat.

Après 10 itérations, $u$ contient $u_{10}$ . En déroulant : $u_1=13$ , $u_2=29$ , …, $u_{10} = 3 \times 2^{10} - 3 = 3069$ .

$u_{10} = 3069$ .

Application guidée

Soit $u_1 = 1000$ et $u_{n+1} = 0{,}95 \, u_n$ . Décrire l'algorithme pour calculer $u_{20}$ .

Application autonome 1

Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 4$ . Écrire un algorithme permettant de calculer $u_{50}$ , et donner sa valeur approchée.

Application autonome 2

Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ . Écrire l'algorithme pour obtenir $u_{30}$ et conjecturer la limite.

Application autonome 3

Soit $u_0 = 200$ et $u_{n+1} = 0{,}8 \, u_n + 10$ . Décrire l'algorithme permettant de calculer $u_{15}$ et donner sa valeur approchée.

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