Comment calculer les termes successifs d'une suite définie par récurrence ? | MetMat

Comment calculer les termes successifs d'une suite définie par récurrence ?

Calculer les termes par itération manuelle

Obtenir les premiers termes d'une suite définie par récurrence en appliquant la formule pas à pas.

L'objectif

Obtenir les premiers termes d'une suite définie par récurrence en appliquant la formule pas à pas.

Le principe

On injecte la valeur connue du terme précédent dans la relation de récurrence pour obtenir le terme suivant.

La méthode

1
Repérer le terme initial $u_0$ (ou $u_1$ ) et noter la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ .
2
Calculer $u_1 = f(u_0)$ , puis $u_2 = f(u_1)$ , et ainsi de suite jusqu'au rang souhaité.
3
Vérifier le résultat en s'assurant que chaque calcul respecte bien la relation donnée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit la suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n - 1$ . Calculer $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ .

Étape 1 —

Repérer le terme initial

u_0

(ou

u_1

) et noter la relation de récurrence

u_{n+1} = f(u_n)

On a $u_0 = 2$ et la relation $u_{n+1} = 3u_n - 1$ .

Étape 2 —

Calculer

u_1 = f(u_0)

, puis

u_2 = f(u_1)

, et ainsi de suite jusqu'au rang souhaité.

$u_1 = 3 \times 2 - 1 = 5$ , $u_2 = 3 \times 5 - 1 = 14$ , $u_3 = 3 \times 14 - 1 = 41$ .

Étape 3 —

Vérifier le résultat en s'assurant que chaque calcul respecte bien la relation donnée.

On vérifie : $3 \times 2 - 1 = 5$ ✓, $3 \times 5 - 1 = 14$ ✓, $3 \times 14 - 1 = 41$ ✓.

$u_1 = 5$ , $u_2 = 14$ , $u_3 = 41$ .

Application guidée

Soit la suite définie par $u_1 = 4$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + 1$ . Calculer $u_2$ , $u_3$ et $u_4$ .

Application autonome 1

Une suite est définie par $u_0 = 100$ et $u_{n+1} = 0{,}9 \, u_n + 5$ . Calculer les quatre premiers termes.

Application autonome 2

Soit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n^2 + u_n$ . Calculer $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ .

Application autonome 3

Soit la suite définie par $u_0 = -1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$ . Calculer $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ .

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