Comment effectuer un ajustement non affine par changement de variable ? | MetMat

Comment effectuer un ajustement non affine par changement de variable ?

En posant un changement de variable linéarisant ( $Y = \ln y$ ou $X = \ln x$ )

Ajuster un nuage de points par une courbe non affine en se ramenant à un ajustement linéaire par changement de variable.

L'objectif

Ajuster un nuage de points par une courbe non affine en se ramenant à un ajustement linéaire par changement de variable.

Le principe

On choisit le changement de variable qui transforme le modèle non linéaire en modèle affine : $Y = \ln y$ pour un modèle exponentiel $y = Ae^{bx}$ , ou $Y = \ln y$ et $X = \ln x$ pour un modèle puissance $y = Ax^{b}$ .

La méthode

1
Identifier la forme du modèle attendu (exponentiel $y = Ae^{bx}$ ou puissance $y = Ax^b$ ) d'après l'allure du nuage ou le contexte physique.
2
Poser le changement de variable adapté : $Y = \ln y$ (et $X = x$ ) pour un modèle exponentiel, ou $Y = \ln y$ et $X = \ln x$ pour un modèle puissance. Calculer les nouvelles valeurs $X_i$ et $Y_i$ .
3
Appliquer la méthode des moindres carrés aux couples $(X_i, Y_i)$ pour obtenir la droite $Y = \alpha X + \beta$ , en calculant $\alpha$ et $\beta$ .
Comment déterminer la droite de régression par les moindres carrés ?Voir
4
Revenir aux variables initiales en identifiant les paramètres : pour le modèle exponentiel, $b = \alpha$ et $A = e^{\beta}$ ; pour le modèle puissance, $b = \alpha$ et $A = e^{\beta}$ .
5
Écrire l'équation finale $y = Ae^{bx}$ (ou $y = Ax^b$ ) et vérifier la cohérence sur un point du tableau.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

La radioactivité $y$ (en Bq) d'un échantillon est mesurée à des instants $x$ (en heures) : $(0 ; 800)$ , $(1 ; 400)$ , $(2 ; 200)$ , $(3 ; 100)$ . Ajuster par un modèle exponentiel $y = Ae^{bx}$ .

Étape 1 —

Identifier la forme du modèle attendu (exponentiel

y = Ae^{bx}

ou puissance

y = Ax^b

) d'après l'allure du nuage ou le contexte physique.

Le nuage décroît rapidement et le contexte (désintégration radioactive) indique un modèle exponentiel $y = Ae^{bx}$ .

Étape 2 —

Poser le changement de variable adapté :

Y = \ln y

(et

X = x

) pour un modèle exponentiel, ou

Y = \ln y

X = \ln x

pour un modèle puissance. Calculer les nouvelles valeurs

X_i

Y_i

On pose $Y = \ln y$ et $X = x$ . Les nouvelles valeurs : $(0 ; \ln 800)$ , $(1 ; \ln 400)$ , $(2 ; \ln 200)$ , $(3 ; \ln 100)$ , soit $(0 ; 6{,}685)$ , $(1 ; 5{,}991)$ , $(2 ; 5{,}298)$ , $(3 ; 4{,}605)$ .

Étape 3 —

Appliquer la méthode des moindres carrés aux couples

(X_i, Y_i)

pour obtenir la droite

Y = \alpha X + \beta

, en calculant

\alpha

\beta

$\bar{X} = 1{,}5$ ; $\bar{Y} = \dfrac{6{,}685+5{,}991+5{,}298+4{,}605}{4} = \dfrac{22{,}579}{4} \approx 5{,}645$ . Les écarts $X_i - 1{,}5$ sont $-1{,}5, -0{,}5, 0{,}5, 1{,}5$ et les produits $(X_i-1{,}5)(Y_i-5{,}645)$ sont $\approx -1{,}560, -0{,}173, -0{,}174, -1{,}560$ . $\alpha = \dfrac{\sum (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sum (X_i-\bar{X})^2} = \dfrac{-3{,}467}{5} \approx -0{,}693$ .

Étape 4 —

Revenir aux variables initiales en identifiant les paramètres : pour le modèle exponentiel,

b = \alpha

A = e^{\beta}

; pour le modèle puissance,

b = \alpha

A = e^{\beta}

$\beta = \bar{Y} - \alpha \bar{X} \approx 5{,}645 - (-0{,}693)(1{,}5) \approx 5{,}645 + 1{,}040 = 6{,}685$ . Donc $b \approx -0{,}693$ et $A = e^{6{,}685} \approx 800$ .

Étape 5 —

Écrire l'équation finale

y = Ae^{bx}

(ou

y = Ax^b

) et vérifier la cohérence sur un point du tableau.

Modèle : $y = 800 \, e^{-0{,}693x}$ . Vérification en $x = 2$ : $800 \, e^{-1{,}386} \approx 800 \times 0{,}25 = 200$ Bq. Correct (demi-vie $T_{1/2} = \ln 2 / 0{,}693 \approx 1$ heure).

$y = 800\,e^{-0{,}693x}$ ; la demi-vie est d'environ $1$ heure.

Application guidée

On étudie la croissance d'une colonie bactérienne. Le nombre $y$ (en milliers) en fonction du temps $x$ (en heures) donne : $(0 ; 2)$ , $(1 ; 6)$ , $(2 ; 18)$ , $(3 ; 54)$ . Ajuster par un modèle exponentiel $y = Ae^{bx}$ .

Application autonome 1

On étudie la relation entre la masse $x$ (en kg) et la surface corporelle $y$ (en m²) de 4 mammifères : $(1 ; 0{,}10)$ , $(10 ; 0{,}46)$ , $(100 ; 2{,}15)$ , $(1000 ; 10{,}0)$ . Ajuster par un modèle puissance $y = Ax^b$ .

Application autonome 2

Un physicien mesure la pression $y$ (en Pa) en fonction du volume $x$ (en L) d'un gaz : $(1 ; 400)$ , $(2 ; 200)$ , $(4 ; 100)$ , $(8 ; 50)$ . Ajuster par un modèle puissance $y = Ax^b$ et interpréter.

Application autonome 3

La population $y$ (en milliers d'habitants) d'une ville est relevée tous les $10$ ans depuis $1980$ ( $x$ = nombre de décennies) : $(0 ; 50)$ , $(1 ; 60)$ , $(2 ; 72)$ , $(3 ; 86)$ . Ajuster par un modèle exponentiel $y = Ae^{bx}$ .

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

En posant un changement de variable linéarisant (Y=ln⁡yY = \ln yY=lny ou X=ln⁡xX = \ln xX=lnx)

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant un changement de variable linéarisant ( $Y = \ln y$ ou $X = \ln x$ )