Comment utiliser $\ln(q^n)=n\ln q$ pour déterminer un seuil ?

Déterminer un seuil avec $\ln(q^n) = n\ln q$

L'objectif

Trouver le plus petit entier $n$ à partir duquel $q^n$ dépasse (ou reste en dessous de) un seuil $k$ donné.

Le principe

La propriété $\ln(q^n) = n\ln q$ permet de linéariser une inéquation exponentielle ; le sens de l'inégalité dépend du signe de $\ln q$ .

La méthode

1
Appliquer $\ln$ aux deux membres de l'inéquation $q^n > k$ (avec $q > 0$ , $k > 0$ ) : on obtient $n\ln q > \ln k$ .
2
Diviser par $\ln q$ en vérifiant son signe : si $\ln q > 0$ (i.e. $q > 1$ ), le sens est conservé ; si $\ln q < 0$ (i.e. $0 < q < 1$ ), le sens s'inverse.
3
Conclure en donnant le plus petit entier $n$ satisfaisant l'inégalité, en calculant $\dfrac{\ln k}{\ln q}$ numériquement si nécessaire.

Difficulté croissante de 1 à 4

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Déterminer un seuil avec ln⁡(qn)=nln⁡q\ln(q^n) = n\ln qln(qn)=nlnq