Résoudre $\ln A = \ln B$ par bijectivité

Résoudre une équation de la forme $\ln A = \ln B$ en utilisant l'injectivité de $\ln$ .

L'objectif

Résoudre une équation de la forme $\ln A = \ln B$ en utilisant l'injectivité de $\ln$ .

Le principe

Le logarithme est une fonction bijective : $\ln A = \ln B \Leftrightarrow A = B$ , à condition que $A > 0$ et $B > 0$ .

La méthode

1
Mettre l'équation sous la forme $\ln A = \ln B$ en regroupant les termes si nécessaire (utiliser les propriétés algébriques de $\ln$ ).
2
Appliquer la bijectivité : $\ln A = \ln B \Leftrightarrow A = B$ , puis résoudre l'équation $A = B$ .
3
Vérifier que les solutions obtenues vérifient bien $A > 0$ et $B > 0$ (conditions de définition du logarithme), et rejeter les solutions invalides.

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Exercice d'exemple

Résoudre $\ln(2x-1) = \ln(x+3)$ .

Étape 1 —

Mettre l'équation sous la forme

\ln A = \ln B

en regroupant les termes si nécessaire (utiliser les propriétés algébriques de

\ln

Condition d'existence : $2x - 1 > 0$ et $x + 3 > 0$ , soit $x > \dfrac{1}{2}$ et $x > -3$ . La condition effective est $x > \dfrac{1}{2}$ .

Étape 2 —

Appliquer la bijectivité :

\ln A = \ln B \Leftrightarrow A = B

, puis résoudre l'équation

A = B

Par bijectivité du logarithme : $\ln(2x-1) = \ln(x+3) \Leftrightarrow 2x - 1 = x + 3 \Leftrightarrow x = 4$ .

Étape 3 —

Vérifier que les solutions obtenues vérifient bien

A > 0

B > 0

(conditions de définition du logarithme), et rejeter les solutions invalides.

Vérification : $x = 4 > \dfrac{1}{2}$ ✓. L'équation admet une unique solution.

$x = 4$

Application guidée

Résoudre $\ln(2x+1) = \ln(x+4)$ .

Application autonome 1

Résoudre $\ln(x^2 - 3) = \ln(2x)$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Application autonome 2

Résoudre $\ln(x+2) + \ln(x-1) = \ln(4)$ .

Application autonome 3

Résoudre $\ln(3x - 2) = \ln(x) + \ln(2)$ .

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