Dériver une expression contenant $\ln$ par la règle $(\ln u)' = u'/u$

Calculer la dérivée d'une fonction contenant $\ln u$ où $u$ est une expression en $x$ .

L'objectif

Calculer la dérivée d'une fonction contenant $\ln u$ où $u$ est une expression en $x$ .

Le principe

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive, alors $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ .

La méthode

1
Identifier l'argument $u$ de chaque $\ln$ présent dans l'expression et préciser son domaine de définition ( $u > 0$ ).
2
Calculer $u'$ , la dérivée de $u$ par rapport à $x$ , en appliquant les règles usuelles (somme, produit, quotient, puissance).
3
Remplacer la dérivée de chaque $\ln u$ par $\dfrac{u'}{u}$ , puis simplifier l'expression obtenue si possible.

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Exercice d'exemple

Dériver $f(x) = \ln(3x)$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Étape 1 —

Identifier l'argument

u

de chaque

\ln

présent dans l'expression et préciser son domaine de définition (

u > 0

L'argument est $u = 3x > 0$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Étape 2 —

Calculer

u'

, la dérivée de

u

par rapport à

x

, en appliquant les règles usuelles (somme, produit, quotient, puissance).

$u' = 3$ .

Étape 3 —

Remplacer la dérivée de chaque

\ln u

par

\dfrac{u'}{u}

, puis simplifier l'expression obtenue si possible.

$f'(x) = \dfrac{3}{3x} = \dfrac{1}{x}$ .

$f'(x) = \dfrac{1}{x}$

Application guidée

Dériver $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Dériver $f(x) = x\ln(x)$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Application autonome 2

Dériver $f(x) = \ln\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$ sur $]1 ; +\infty[$ .

Application autonome 3

Dériver $f(x) = \ln^2(x+2)$ sur $]-2 ; +\infty[$ .

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