Comment estimer une aire par la méthode de Monte-Carlo ?

Estimer une aire par la méthode de Monte-Carlo

L'objectif

Estimer $\int_a^b f(x)\,dx$ (ou une aire) en simulant des points aléatoires dans un rectangle englobant.

Le principe

La proportion de points tombant sous la courbe converge vers le rapport aire sous la courbe / aire du rectangle, donc vers $\frac{\int_a^b f(x)\,dx}{M(b-a)}$ .

La méthode

1
Choisir un rectangle $[a,b]\times[0,M]$ qui englobe entièrement la courbe ( $M \geq \max_{[a,b]} f$ ).
2
Tirer $N$ points $(x_i, y_i)$ avec $x_i$ uniforme sur $[a,b]$ et $y_i$ uniforme sur $[0,M]$ . Compter le nombre $k$ de points vérifiant $y_i \leq f(x_i)$ (points « sous la courbe »).
3
Estimer l'aire (ou l'intégrale) par $\mathcal{A} \approx M(b-a)\times\dfrac{k}{N}$ . Plus $N$ est grand, meilleure est l'estimation.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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