Estimer une aire par la méthode de Monte-Carlo

Estimer $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ (ou une aire) en simulant des points aléatoires dans un rectangle englobant.

L'objectif

Estimer $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ (ou une aire) en simulant des points aléatoires dans un rectangle englobant.

Le principe

La proportion de points tombant sous la courbe converge vers le rapport aire sous la courbe / aire du rectangle, donc vers $\frac{\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x}{M(b-a)}$ .

La méthode

1
Choisir un rectangle $[a,b]\times[0,M]$ qui englobe entièrement la courbe ( $M \geq \max_{[a,b]} f$ ).
2
Tirer $N$ points $(x_i, y_i)$ avec $x_i$ uniforme sur $[a,b]$ et $y_i$ uniforme sur $[0,M]$ . Compter le nombre $k$ de points vérifiant $y_i \leq f(x_i)$ (points « sous la courbe »).
3
Estimer l'aire (ou l'intégrale) par $\mathcal{A} \approx M(b-a)\times\dfrac{k}{N}$ . Plus $N$ est grand, meilleure est l'estimation.

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Exercice d'exemple

On utilise la méthode de Monte-Carlo pour estimer $\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x$ avec le rectangle $[0,1]\times[0,1]$ . Sur $N = 1000$ points, $k = 336$ tombent sous la courbe. Donner l'estimation.

Étape 1 —

Choisir un rectangle

[a,b]\times[0,M]

qui englobe entièrement la courbe (

M \geq \max_{[a,b]} f

Rectangle englobant : $[0,1]\times[0,1]$ , aire $= 1$ . On a $f(x) = x^2 \leq 1$ sur $[0,1]$ , donc $M = 1$ convient.

Étape 2 —

Tirer

N

points

(x_i, y_i)

avec

x_i

uniforme sur

[a,b]

y_i

uniforme sur

[0,M]

. Compter le nombre

k

de points vérifiant

y_i \leq f(x_i)

(points « sous la courbe »).

Sur $N = 1000$ points, $k = 336$ vérifient $y_i \leq x_i^2$ .

Étape 3 —

Estimer l'aire (ou l'intégrale) par

\mathcal{A} \approx M(b-a)\times\dfrac{k}{N}

. Plus

N

est grand, meilleure est l'estimation.

$\mathcal{A} \approx 1 \times 1 \times \frac{336}{1000} = 0{,}336$ . La valeur exacte est $\frac{1}{3} \approx 0{,}333$ .

$\int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x \approx 0{,}336$

Application guidée

On estime $\pi$ via Monte-Carlo en inscrivant un quart de disque de rayon $1$ dans le carré $[0,1]^2$ . Sur $N = 2000$ points, $k = 1574$ vérifient $x_i^2 + y_i^2 \leq 1$ . Estimer $\pi$ .

Application autonome 1

On estime $\int_0^2 e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ par Monte-Carlo avec le rectangle $[0,2]\times[0,1]$ ( $M=1$ car $e^{-x^2} \leq 1$ ). Sur $N = 5000$ points, $k = 1493$ sont sous la courbe. Donner l'estimation.

Application autonome 2

On utilise Monte-Carlo pour estimer l'aire sous $f(x) = \sqrt{4-x^2}$ sur $[0,2]$ (quart de disque). Rectangle $[0,2]\times[0,2]$ . Sur $N = 4000$ points, $k = 3145$ vérifient $y_i \leq \sqrt{4-x_i^2}$ . Estimer l'aire et comparer à la valeur exacte.

Application autonome 3

On utilise Monte-Carlo pour estimer $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x^2}\,\mathrm{d}x$ avec le rectangle $[0,1]\times[0,1]$ . Sur $N = 10\,000$ points, $k = 7845$ tombent sous la courbe. Donner l'estimation.

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